\(B=\dfrac{x^2+3+12}{x^2+3}=1+\dfrac{12}{x^2+3}\)

Do \(x^2+3\ge3;\forall x\)

\(\Rightarrow\dfrac{12}{x^2+3}\le\dfrac{12}{3}=4\)

\(\Rightarrow B\le1+4=5\)

Vậy \(B_{max}=5\) khi \(x=0\)

\(A=\dfrac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\dfrac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A nguyên \(\Rightarrow4⋮\left(\sqrt{x}-3\right)\Rightarrow\sqrt{x}-3=Ư\left(4\right)\)

Mà \(\sqrt{x}-3\ge-3\Rightarrow\sqrt{x}-3=\left\{-2;-1;1;2;4\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}=\left\{1;2;4;5;7\right\}\)

\(\Rightarrow x=\left\{1;4;16;25;49\right\}\)

\(\dfrac{x+4}{2010}+\dfrac{x+3}{2011}=\dfrac{x+2}{2012}+\dfrac{x+1}{2013}\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x+4}{2010}+1\right)+\left(\dfrac{x+3}{2011}+1\right)=\left(\dfrac{x+2}{2012}+1\right)+\left(\dfrac{x+1}{2013}+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+2014}{2010}+\dfrac{x+2014}{2011}=\dfrac{x+2014}{2012}+\dfrac{x+2014}{2013}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+2014}{2010}+\dfrac{x+2014}{2011}-\dfrac{x+2014}{2012}-\dfrac{x+2014}{2013}=0\)

`=> (x+2014) (1/2010 + 1/2011-1/2012-1/2013)=0`

`=> x+2014=0` ( vì `1/2010 + 1/2011-1/2012-1/2013≠0 )`

`=>x=-2014`

Để chứng minh công thức AB+AC-BC = 2AE, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác:

• Ta có: BOC là phân giác góc B và C, do đó BO và CO cắt nhau tại O, chia góc BOC thành hai góc bằng nhau.
• Khi đó, ta có: AOE và AOD là cặp tam giác đồng dạng, vì chúng có:

• Cặp góc vuông: ∠AOE = 90^o và ∠AOD = 90^o
• Cặp góc bằng nhau: ∠OAE = ∠OAD (vì AE là phân giác góc A)
• Do đó: cặp góc còn lại cũng bằng nhau: ∠AEO = ∠ADO

• Từ đó suy ra: các tam giác AOE và AOD đồng dạng theo nguyên tắc cạnh - góc - cạnh (góc AEO hoặc ADO là góc chung, AE = AD và EO = OD): => AE/EO = AD/OD
• Đặt x = EO. Khi đó, OD = x/BC và AE = x/AB (do AE là phân giác góc A).
• Áp dụng công thức phân giác để tính x theo AB, AC và BC:
• Xét tam giác EOx:
  • áp dụng định lí cosin trong tam giác vuông EOX có: OE^2 = OX^2 + EX^2 AB^2 + BE^2 = (AB-BC)^2 + x^2 AC^2 + CD^2 = (AC-BC)^2 + x^2
  • suy ra: 2x^2 = AB^2 + AC^2 - BC^2
• Thay x bằng giá trị tương ứng, ta được: (AB+AC-BC)/2 = AE Vậy, ta đã chứng minh được công thức cần tìm.

lớp 7 chưa có lượng giác bạn ơi

   \(\dfrac{x-1,2}{2}\)                 =    \(\dfrac{8}{x-1,2}\)

⇒(\(x-1,2\))(\(x-1,2\))   =    8 \(\times\) 2

   (\(x-1,2\))²                =      16

    (\(x-1,2\))²                =       4²

    \(\left[{}\begin{matrix}x-1,2=4\\x-1,2=-4\end{matrix}\right.\)

    \(\left[{}\begin{matrix}x=4+1,2\\x=-4+1,2\end{matrix}\right.\)

    \(\left[{}\begin{matrix}x=5,2\\x=-2,8\end{matrix}\right.\)

     Vậy \(x\) \(\in\) { -2,8; 5,2}

\(\dfrac{x-1,2}{2}=\dfrac{8}{x-1,2}\)

⇒ ( x - 1,2 )² = 8 . 2 = 16 = 4²

x - 1,2 = 4

x = 5,2

TH1: \(a+b+c=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\b+c=-a\\c+a=-b\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\dfrac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=-1\)

TH2: \(a+b+c\ne0\)

Áp dụng dãy tỉ lệ thức bằng nhau:

\(\dfrac{a+b-c}{c}=\dfrac{c+a-b}{b}=\dfrac{b+c-a}{a}=\dfrac{a+b-c+c+a-b+b+c-a}{a+b+c}=1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-c=c\\c+a-b=b\\b+c-a=a\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=2c\\c+a=2b\\b+c=2a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\dfrac{2a.2a.2a}{a^3}=8\)

Vậy biểu thức đã cho bằng -1 hoặc bằng 8