Câu này quá khó .Thần đồng chắc mới giải được.

Theo bđt cô si ta có : \(\hept{\begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\end{cases}}\)

=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\cdot\sqrt{ab}\cdot\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\sqrt{\frac{ab}{ab}}=4\)

=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ( Đpcm)

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{b+a}{ab}-\frac{4}{a+b}\)

\(=\frac{\left(a+b\right)^2-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\) ( luôn đúng ) ( do a ; b là các số nguyên dương )

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a;b>0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b>0\)

Vậy ....

Toán lớp 7 

cái này dễ để em làm cho:

\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)

ta có\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{\left(a+b\right)-b}{a+b}+\frac{\left(b+c\right)-c}{b+c}+\frac{\left(c+a\right)-a}{c+a}\)

\(=1-\frac{b}{a+b}+1-\frac{c}{b+c}+1-\frac{a}{c+a}\)

\(=3-\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\right)\)

đặt E=\(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)

\(>\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\)(1)

\(\Rightarrow E>1\)

\(\Rightarrow3-E< 2\)

CHỨNG MINH TƯƠNG TỰ \(\frac{A}{A+B}+\frac{B}{B+C}+\frac{C}{C+A}< 1NHƯ\left(1\right)\)

\(\Rightarrowđpcm\)

đề bài là j bạn

Đặt A = x⁴ - 9x³ + 9x² + 41x - 42 = (x⁴ - 8x³ +x² + 42x) - (x³ - 8x² + x + 42) = (x-1)(x³ - 8x² + x + 42) = (x-1)[(x³ - 10x² + 21x) + (x² - 10x + 21)] = (x-1)(x+2)(x² - 10x + 21) = (x-1)(x+2)[(x² - 3x) - (7x - 21)]=(x-1)(x-2)(x-3)(x-7)

  \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}}\)    

 \(\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x-7=0\end{cases}}\) <=>\(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=7\end{cases}}\) 

Vậy S = {1;2;3;7}

x là 2 bị sai rồi

               \(a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+2-2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) luôn đúng

Dấu "=" xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(a=b=1\)