1. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm ở giữa M và D; tia MC nằm giữa MA và MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn.

b) IAB = AMO.

c)  O là trung điểm của EF

2. 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R).Từ A,B,C lần lượt kẻ các đường cao tương ứng AD,BE,CF xuống các cạnh BC,CA,AB (DÎ BC,EÎ AC,FÎ AB).

a)   Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn.

b)   Chứng minh: AE.AC = AF.AB.

c)   Tính diện tích của tam giác ABC, biết R = 2 cm và chu vi của tam giác DEF

     bằng 10 cm.

3. 

Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:

1. Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

2. PR = RS.