Bất đẳng thức Bernoulli 

Cách chứng minh bất đẳng thức Bernoulli 

Câu hỏi của Vy Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath 

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{\left(x^2+2x+1\right)-\left(x^2+x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}-1\)

DO \(\frac{\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\ge0\forall x\)(do (x+1)²\(\ge0\)và \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\))

=> GTNN CỦA A=-1 KHI VÀ CHỈ KHI X+1=0<=>X=-1

\(A=\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1}{x^2+x+1}-\frac{x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\)

Ta có : \(\frac{x^2}{x^2+x+1}\ge0\forall x\in R\)

Suy ra : \(-\left(\frac{x^2}{x^2+x+1}\right)\le0\forall x\in R\)

Nên : \(A=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}\le1\forall x\in R\)

Vậy A_min = 1 khi x = 0 

Từ " những " trong câu :

- Những người muôn năm cũ , hồn ở đâu bây giờ .

Từ " những " không phải là trợ động từ.

Vì trợ động từ  thường là những từ bổ ngữ cho động từ , nhưng trong câu văn trên từ " những" không bổ nghĩa cho động từ .

Gọi i là đại diện cho các số từ 1 đến 2011

ĐKXĐ:  \(a_i\ne0\left(i=1,2,3,..,2011\right)\)  

Xét \(a_i=1\)  Ta có: \(\frac{1}{a^{11}_i}=1>\frac{2011}{2048}\Rightarrow\frac{1}{x^{11}_1}+\frac{1}{x^{11}_2}+...+\frac{1}{x^{11}_{2011}}>\frac{2011}{2048}\left(loai\right)\) 

Xét \(a_i\ge2\) Ta có: \(\frac{1}{a^{11}_i}\le\frac{1}{2048}\Rightarrow\frac{1}{x^{11}_1}+\frac{1}{x^{11}_2}+...+\frac{1}{x^{11}_{2011}}\le\frac{2011}{2048}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a_i=2\) 

Thay vào ta có: 

\(M=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{2011}}\) 

\(\Rightarrow2M-M=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{2010}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{2011}}\right)\) 

\(\Rightarrow M=1-\frac{1}{2^{2011}}\)

a) Xét  \(\Delta BAH\) và      \(\Delta BCA\)có:

         \(\widehat{B}\) chung

        \(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\)

suy ra:   \(\Delta BAH~\Delta BCA\)  (g.g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\)

\(\Rightarrow\)\(AB^2=BH.BC\)

c)  Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC ta có:

      \(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\)\(BC=10\)

\(\Delta ABC\)có  AK  là phân giác  

\(\Rightarrow\)\(\frac{KB}{AB}=\frac{KC}{AC}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

    \(\frac{KB}{AB}=\frac{KC}{AC}=\frac{KB+KC}{AB+AC}=\frac{5}{7}\)

suy ra:  \(KB=\frac{30}{7}\)     \(KC=\frac{40}{7}\)

c) Xét  \(\Delta ABD\)và   \(\Delta HBI\)có:

    \(\widehat{ABD}=\widehat{HBI}\) (gt)

   \(\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^0\)

suy ra:  \(\Delta ABD~\Delta HBI\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AB}{HB}=\frac{BD}{BI}\)

\(\Rightarrow\)\(AB.BI=BD.HB\)

d)    \(S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=24\)

 \(\Delta ABH~\Delta CBA\) (câu a)

\(\Rightarrow\)\(\frac{S_{ABH}}{S_{CBA}}=\left(\frac{AB}{BC}\right)^2=\frac{9}{16}\)

\(\Rightarrow\)\(S_{ABH}=\frac{9}{16}.S_{ABC}=13,5\)

â) chứng minh AB² = BH . BC 

 Xét : \(\Delta ABHva\Delta ABC,co\):

       \(\widehat{B}\) là góc chung 

       \(\widehat{A}=\widehat{H}=90^o\)

Do do : \(\Delta ABH~\Delta ABC\left(g-g\right)\)

=> \(\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{AB}\) (tỉ lệ tương ứng của 2 tam giác đồng dạng ) 

=> AB . AB = BH . BC

=> AB²       = BH . BC 

b)

\(\left(3x-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{2}{3}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-\frac{1}{2}\right).\frac{1}{3}=0\)

\(\Rightarrow3x-\frac{1}{2}=0:\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow3x-\frac{1}{2}=0\)

\(\Rightarrow3x=0+\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow3x=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{2}:3\)

\(\Rightarrow x=\frac{1}{6}\)

2 \(A=n^3+n^2+5n^2+5n-24n-24=n\left(n+1\right)+5n\left(n+1\right)-24\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+5n+24\right)\left(n+1\right)=\left(6n+24\right)\left(n+1\right)=6\left(n+4\right)\left(n+1\right)\)

vì \(6⋮6\Rightarrow A⋮6\)

Từ trường hợp 1 ta có:

- Nếu cạnh bên và cạnh dáy của tam giác cân này tỉ lệ với cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Từ trường hợp 2 và 3 ta nói:

- Nếu hai tam giác cân có một góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.

Từ trường hợp 1 ta có:

- Nếu cạnh bên và cạnh dáy của tam giác cân này tỉ lệ với cạnh bên và cạnh đáy của tam giác cân kia thì hai tam giác đó đồng dạng.

Từ trường hợp 2 và 3 ta nói:

- Nếu hai tam giác cân có một góc tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng.