\(Vt=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(1-xy\right)}{\left(x-y\right)^2}^2+2xy\ge2\left(1-xy\right)+2xy=2\)(AM-GM)

Đặt: y + z = a thì ta có

\(x\le2a\)

Từ đề bài thì ta có thể suy ra

\(A\le\frac{2x}{a^2}-\frac{1}{\left(x+a\right)^3}\)

\(\le\frac{4}{a}-\frac{1}{27a^3}=\frac{108a^2-1}{27a^3}\)

 \(=16-\frac{\left(6a-1\right)^2\left(12a+1\right)}{27a^3}\le16\)

 Vậy GTLN là \(A=16\). Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\y=z=\frac{1}{12}\end{cases}}\) 

Làm sao để tách được bởi vì làm sao dự đoán dượcđiểm rơi?

mình nhé

có tui

\(\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)

Ta có:

\(VT\le\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{2\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\)

Giờ ta chỉ cần chứng minh 

\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)+\left(2y-2\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\ge0\)(đúng)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\) 

M = 2m + 1 + 2m + m²

= m² + 4m + 1

= (m + 2)² - 3 >= -3

Vậy, Min_M = -3 khi m = -2

Xét 3 tứ giác OAXC ; OBYA ; OBZC có :

X + XAO + OCX + AOC = 360⁰ (Tứ giác OAXC)

Y + OAY + AOB + OBY = 360⁰ (Tứ giác OBYA)

Z + OCZ + COB + OBZ = 360⁰ (Tứ giác OBZC)

Dựa vào dữ kiện các góc bằng nhau , ta suy ra 

Góc X = Góc Y = Góc Z

=> Tam giác XYZ đều 

biết đăng làm chi

Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m,p sao cho :

 96 000 ... 000 + a + 15p < 97 000 ... 000

     M chữ số 0                     M chữ số 0

Tức là \(96\frac{a}{10^m}\)+ \(\frac{15p}{10^m}\)\(< 97\left(1\right)\)

Gọi a + 15 là số có k chữ số 10^kl + 15 < 10^k

=> \(\frac{1}{10}\)\(\le\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15p}{10^k}\). Theo (2)

Ta có : x₁ < 1 và \(\frac{15}{10^k}\)< 1

Cho n nhận lần lượt các giá trị 1;3;4;....; các giá trị nguyên của x_n tăng dần, mỗi lần tăng không quá 1 đơn vị, khi đó [ x_n sẽ trải qua các giá trị 1,2,3. Đến 1 lúc ta có [x_p] = 96. Khi đó 96x_p tức là \(96\frac{a}{10^k}\)+ \(\frac{15}{10^k}\)< 97. Bất đẳng thức (1) đợt chứng minh.