Bạn nhớ vẽ hình ra đã nhé ! 
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có 
MA+MC ≥ AC 
MB+MD ≥ BD 
→ MA+MB+MC+MD ≥ AC+BD 
Dấu ''='' xảy ra ↔ M là giao điểm của AC và BD

 Nếu cả 4 góc đó đều nhọn thì tổng 4 góc sẽ nhỏ hơn 90^o.4 = 360^o. Mà tổng các góc của 1 tứ giác = 360^o nên TH này không xảy ra 

==> Tứ giác đó có ít nhất một góc nhọn và một góc tù

Ta có M=\(\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

=\(2\left(a+b+c\right)+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}-\frac{ab}{c}-\frac{bc}{a}-\frac{ca}{b}=2\left(a+b+c\right)=4026\)

^_^

thếu đề

À chỗ CF + 1/3 CA chỉnh sửa dấu "+" thành dấu"=" ạ!

a, A= x^2-x +1=x^2-1/2.x.2+1/4 + 3/4=(x- 1/2)^2+3/4 lớn hơn hoặc = 3/4

b,c tương tự

Giải cái phương trình này: \(\frac{150}{x}=2+\frac{150-2x}{x+2}+\frac{1}{2}\)

Là được

Sử dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\sqrt[3]{a\left(b+2c\right)}=\frac{\sqrt[3]{3.3a.\left(b+2c\right)}}{\sqrt[3]{9}}\le\frac{3+3a+b+2c}{3.\sqrt[3]{9}}\)

Tương tự: 

\(\sqrt[3]{b\left(c+2a\right)}\le\frac{3+3b+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(\sqrt[3]{c\left(a+2b\right)}\le\frac{3+3c+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\)

Cộng lại ta có: 

\(S\le\frac{9+6\left(a+b+c\right)}{3\sqrt[3]{9}}=\frac{27}{3\sqrt[3]{9}}=3.\sqrt[3]{3}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Áp dụng BĐT AM-GM

\(\sqrt[3]{\left(a+b\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{a+b+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)

\(\sqrt[3]{\left(b+c\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{b+c+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)

\(\sqrt[3]{\left(c+a\right).\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{c+a+\frac{2}{3}+\frac{2}{3}}{3}\)

\(\Rightarrow S.\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}}\le\frac{2\left(a+b+c\right)+\frac{2}{3}.6}{3}=\frac{2.1+4}{3}=2\)

\(\Leftrightarrow S\le2:\sqrt[3]{\frac{4}{9}}=\frac{2.\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4}}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=1\\a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}}\)

Vậy...

Sử dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(\sqrt[3]{a+b}=\frac{\sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}.\left(a+b\right)}}{\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\le\frac{\frac{2}{3}+\frac{2}{3}+a+b}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}\)

Tương tự cộng lại suy ra 

\(S\le\frac{6.\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\frac{6}{3.\sqrt[3]{\frac{4}{9}}}=\sqrt[3]{18}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)