độ dài dường chéo dài là

`(19+3):2=11(m)`

độ dài của đường chéo ngắn là

`19-11=8(m)`

diện tích vườn hoa là

`11xx8:2=44(m^2)`

\(S=44m^2\)

Thời gian xe máy đi từ A tới B là:

7 giờ 45 phút - 6 giờ 35 phút = 1 giờ 10 phút

Thời gian xe đạp đi từ A tới B là:

1 giờ 10 phút + 1 giờ 45 phút = 2 giờ 55 phút

Đổi 1 giờ 10 phút = 7/6 giờ, 2 giờ 55 phút = 35/12 giờ

Vận tốc của xe máy là:

\(45,5:\dfrac{7}{6}=39\) (km/h)

Vận tốc của xe đạp là:

\(45,5:\dfrac{35}{12}=15,6\) (km/h)

\(\dfrac{x}{3}=\dfrac{-2}{9}\)

\(\Leftrightarrow=\dfrac{-2}{9}\times3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-2}{3}\)

`x/3=(-2)/9`

`=>x*9=-2*3`

`=>9x=-6`

`=>x=-6/9=-2/3`

Độ dài đường chéo ngắn là:

\(\dfrac{7}{8}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{8}-\dfrac{2}{8}=\dfrac{5}{8}\left(m\right)\)

Diện tích hình thoi là:

\(\dfrac{7}{8}\times\dfrac{5}{8}:2=\dfrac{35}{128}\left(m^2\right)\)

Em cảm ơn rất nhiều ạ.

Số lít xăng cửa hàng còn lại là:

     \(72\) x \(\dfrac{3}{8}=27\)      (lít)

Số lít xăng cửa hàng đã bán là:

     \(72-27=45\)      (lít)

Số tiền xăng cửa hàng đã bán là:

    \(18200\) x \(45=819000\)     (đồng)

            Đáp số: \(819000\) đồng

BĐT cần chứng minh tương đương:

\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le1\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}}=\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\right)^2}}\)

\(=\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}\le\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế:

\(\dfrac{a}{a+\sqrt{3a+bc}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{3b+ca}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{3c+ab}}\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Theo t/c đường tròn, do M là trung điểm BC \(\Rightarrow OM\perp BC\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(OM=\sqrt{OC^2-CM^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}=3\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích M là đường tròn tâm \(\left(O;3\right)\)

Mặt khác do G là trọng tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow\overrightarrow{AG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\) G là ảnh của M qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là ảnh của \(\left(O;3\right)\) qua phép vị tự tâm A tỉ số \(k=\dfrac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\) Quỹ tích G là đường tròn bán kính \(\dfrac{2}{3}.3=2\)