Đặt \(A=\left|2022-x\right|+\left|x-2020\right|\)

\(\Rightarrow A\ge\left|2022-x+x-2020\right|=2\)

\(A_{min}=2\) khi \(\left(2022-x\right)\left(x-2020\right)\ge0\Rightarrow2020\le x\le2022\)

\(\left|2022-x\right|+\left|x-2020\right|\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\) vào biểu thức, ta được:

\(\left|2022-x\right|+\left|x-2020\right|\ge\left|2022-x+x-2020\right|=\left|2\right|=2\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(\left(2022-x\right)\left(x-2020\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(2022-x\right)\left(x-2020\right)>0\\\left(2022-x\right)\left(x-2020\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2022-x>0\\x-2020>0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2022-x< 0\\x-2020< 0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}2022-x=0\\x-2020=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}2022>x\\x>2020\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}2022< x\\x< 2020\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=2022\\x=2020\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}2020< x< 2022\\2022< x< 2020\left(\text{vô lí}\right)\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}x=2022\\x=2020\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2020< x< 2022\\\left[{}\begin{matrix}x=2022\\x=2020\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow2020\le x\le2022\)

\(\text{#}\mathit{Toru}\)

Bài 1:

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc BOC

Xét ΔOBA và ΔOCA có

OB=OC

\(\widehat{BOA}=\widehat{COA}\)

OA chung

Do đó: ΔOBA=ΔOCA

=>\(\widehat{OBA}=\widehat{OCA}\)

=>\(\widehat{OCA}=90^0\)

=>AC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

ΔBKD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBKD vuông tại K

=>BK\(\perp\)KD tại K

=>BK\(\perp\)AD tại K

Xét ΔABD vuông tại B có BK là đường cao

nên \(AK\cdot AD=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABO vuông tại B có BH là đường cao

nên \(AH\cdot AO=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AD=AH\cdot AO\)

Câu 8:

a: Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

=>\(\widehat{CAB}+\widehat{CBA}=90^0\)

=>\(\widehat{CBA}=60^0\)

Xét ΔOBC có OB=OC và \(\widehat{OBC}=60^0\)

nên ΔOCB đều

=>BC=OB=R

=>BO=BM=R

=>B là trung điểm của OM

Xét ΔOCM có

CB là đường trung tuyến

CB=1/2OM

Do đó: ΔOCM vuông tại C

b: Ta có: OB+BM=OM

=>OM=R+R=2R

Ta có: ΔOCM vuông tại C

=>\(OC^2+CM^2=OM^2\)

=>\(CM^2=\left(2R\right)^2-R^2=3R^2\)

Vì (d2)//(d) nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b\ne-1\end{matrix}\right.\)

Vậy: (d2): y=3x+b

Thay y=5 vào (d1), ta được:

\(x+3=5\)

=>x=2

Thay x=2 và y=5 vào y=3x+b, ta được:

b+3*2=5

=>b+6=5

=>b=-1

Vậy: (d2): y=3x-1

Thay x=0 vào y=x-3, ta được:

y=0-3=-3

Thay x=0 và y=-3 vào (d), ta được:

\(0\left(2-m\right)+m+1=-3\)

=>m+1=-3

=>m=-4

dạ có thể gth rõ ra vì sao x=0 đc ko ạ

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+3y=1\\9x^2-3y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+3y=1\\10x^2=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1-x^2}{3}\\x^2=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{5}\\x^2=\dfrac{2}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{1}{5}\\x=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)

Đặt \(x^2=a\left(a\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+3y=1\\3a-y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a+9y=3\\3a-y=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow10y=2\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{5}\\ \Rightarrow a=\dfrac{2}{5}\left(tm\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\x=-\dfrac{\sqrt{10}}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}\left(xy+3x+2y+6\right)=\dfrac{1}{2}xy+56\\\dfrac{1}{2}\left(xy-2x-2y+4\right)=\dfrac{1}{2}xy-32\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y+6=112\\-2x-2y+4=-64\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=106\\-2x-2y=-68\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=106\\x=38\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=38\\y=-4\end{matrix}\right.\)

a.

Do SA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow SA\perp AO\Rightarrow\widehat{SAO}=90^0\)

\(\Rightarrow\) 3 điểm S, A, O thuộc đường tròn đường kính SO

Tương tự ta có \(\widehat{SBO}=90^0\) nên 3 điểm S, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO

\(\Rightarrow\) 4 điểm S, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính SO

b.

Theo tính chất 2 tiếp tuyến đường tròn ta có \(SA=SB\)

Mà \(OA=OB=R\Rightarrow SO\) là trung trực của AB hay \(SO\perp AB\) tại M

Hay AM là đường cao ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông SAO

Áp dụng hệ thức lượng: 

\(OA^2=OM.OS\Rightarrow OM.OS=R^2\) (do \(OA=R\))

c.

Theo cmt ta có SO là trung trực AB \(\Rightarrow SO\) là phân giác trong góc \(\widehat{ASB}\) (1)

N nằm trên SO \(\Rightarrow NA=NB\) (tính chất trung trực)

\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{NBA}\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Lại có \(\widehat{NBA}=\widehat{SAN}\) (góc nội tiếp và góc tiếp tuyến cùng chắn cung AN)

\(\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{SAN}\Rightarrow AN\) là phân giác của \(\widehat{SAB}\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow N\) là giao điểm 2 đường phân giác trong tam giác SAB nên N là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SAB

d.

Gọi C là giao điểm của OH với AB.

Xét hai tam giác vuông MOC và HOS có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{O}\text{ chung}\\\widehat{CMO}=\widehat{SHO}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta MOC\sim\Delta HOS\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{OH}=\dfrac{OC}{OS}\Rightarrow OC.OH=OM.OS=R^2\) (theo câu b) \(\Rightarrow OC=\dfrac{R^2}{OH}\)

Mà H cố định \(\Rightarrow OH\) là hằng số \(\Rightarrow OC\) là hằng số hay C cố định

Lại có \(\Delta OMC\) vuông tại M \(\Rightarrow M\) thuộc đường tròn đường kính OC

Hay khi S di chuyển trên d thì M di chuyển trên đường tròn đường kính OC cố định.

a: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}k-2=2\\-k\ne4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}k=4\\k\ne-4\end{matrix}\right.\)

=>k=4

b: Để (d) vuông góc (d') thì \(2\left(k-2\right)=-1\)

=>2k-4=-1

=>2k=3

=>\(k=\dfrac{3}{2}\)

c: Để (d) cắt (d') thì \(k-2\ne2\)

=>\(k\ne4\)

1: Để (d)//(d') thì \(\left\{{}\begin{matrix}m-3=1\\2\ne-5\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>m-3=1

=>m=4

Thay m=4 vào (d), ta được:

\(y=\left(4-3\right)x+2=x+2\)

Vẽ đồ thị:

2: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m-3\right)x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x\left(m-3\right)=-2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{m-3}\\y=0\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(A\left(-\dfrac{2}{m-3};0\right)\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=\left(m-3\right)\cdot x+2=0\left(m-3\right)+2=2\end{matrix}\right.\)

vậy: B(0;2)

\(OA=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{m-3}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{m-3}\right)^2+0^2}=\dfrac{2}{\left|m-3\right|}\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(2-0\right)^2}=2\)

Vì Ox\(\perp\)Oy

nên OA\(\perp\)OB

=>ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OBA}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\dfrac{2}{\left|m-3\right|}=\dfrac{2}{\left|m-3\right|}\)

Để \(S_{OAB}=2\) thì \(\dfrac{2}{\left|m-3\right|}=2\)

=>|m-3|=1

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-3=1\\m-3=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=2\end{matrix}\right.\)