Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao
cho BM > MC và M = C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên
các cạnh AB và AC.
1) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật.
2) Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP. Chứng minh tứ giác APND
là hình bình hành.
3) Gọi Q) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AP; ( là giao...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao
cho BM > MC và M = C. Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M trên
các cạnh AB và AC.
1) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật.
2) Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NM = NP. Chứng minh tứ giác APND
là hình bình hành.
3) Gọi Q) là chân đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng AP; ( là giao điểm
của đoạn thẳng QM và đoạn thăng ND. Chứng minh O là trung điểm của đoạn thẳng QM
và AQN = ADN.
a/
��⊥��ME⊥AB (gt)
��⊥��⇒��⊥��AC⊥AB⇒AF⊥AB
=> ME//AF
��⊥��⇒��⊥��AB⊥AC⇒AE⊥AC
=> MF//AE
=> AEMF là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Ta có �^=90�A=90o
=> AEMF là HCN (hbh có 1 góc vuông là HCN)
b/
Ta có
MF
Xét tg vuông ABC có
MB=MC (gt); MF//AE => MF//AB
=> AF=BF (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)
Ta có
MF=IF (gt)
=> AMCI là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
Ta có
��⊥��⇒��⊥��MF⊥AC⇒MI⊥AC
=> AMCI là hình thoi (hbh có 2 đường chéo vuông góc là hình thoi)
c/
Ta có
AI//CM (cạnh đối hình thoi) => AI//BC => ABCI là hình thang
Xét tứ giác ABMI có
AI//BC (cmt) => AI//BM
MF//AB (cmt) => MI//AB
=> ABMI là hbh (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)
Để ABCI là hình thang cân => AB=CI (1)
Ta có
AB=MI (cạnh đối hình bình hành ABMI) (2)
AM=CI (cạnh đối hình thoi AMCI) (3)
Từ (1) (2) (3) => AB=AM=MI=CI
Xét tg vuông ABC có
BM=CM ⇒��=��=��=��2⇒AM=BM=CM=2BC (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)
=> AB=AM=BM => tg ABM là tg đều ⇒�^=60�⇒B=60o
Để ABCI là hình thang cân thì tg vuông ABC có �^=60�B=60o
d/
Xét tứ giác ADBM có
DE=ME (gt)
AE=BE (gt)
=> ADBM là hbh (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)
=> AD//BM (cạnh đối hbh) => AD//BC
Ta có
AI//CM (cạnh đối hình thoi AMCI)
=> A;D;I thẳng hàng (từ 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)
Ta có
AD=BM (cạnh đối hbh ADBM)
AI=CM (cạnh đối hình thoi AMCI)
BM=CM (gt)
=> AD=AI => A là trung điểm DI
chúc bạn học tốt