a/ Xét tg vuông BAC và tg vuông BHA có

\(\widehat{ACB}=\widehat{BAH}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg BAC đồng dạng với tg BHA (g.g.g)

b/ Xét tg vuông BAC có

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}\) (Pitago) \(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=10cm\)

\(AB^2=HB.BC\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow HB=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{6^2}{10}=3,6cm\)

\(\Rightarrow HC=BC-HB=10-3,6=6,4cm\)

\(AH^2=HB.HC\) (Trong tg vuông bình phương đường cạo hạ từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH^2=3,6.6,4=23,04\Rightarrow AH=4,8cm\)

c/

Xét tg vuông HBM và tg vuông ABD có

\(\widehat{HBM}=\widehat{ABD}\left(gt\right)\) => tg HBM đồng dạng với tg ABD (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{HB}{AB}=\dfrac{HM}{AD}\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{HM}{HB}\) (1)

Xét tg vuông ABC có BD là phân giác \(\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}\) (T/c đường phân giác: Trong tg đường phân giác của 1 góc chia cạnh đối diện thành hai đợn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó) (2)

Xét tg ABH có BM là phân giác \(\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{AM}{AB}\) (T/c đường phân giác: Trong tg đường phân giác của 1 góc chia cạnh đối diện thành hai đợn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{AM}{AB}\)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{AB}.\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CD}{BC}.\dfrac{HM}{HB}\)

 Mà \(HB.BC=AB^2\) (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AD.AM}{AB^2}=\dfrac{HM.CD}{AB^2}\Rightarrow AM.AD=HM.CD\)

\(\Rightarrow AM.AD-HM.CD=0\)

\(x^2-4x=x-2\) \(\Leftrightarrow x^2-5x+2=0\)\(\Leftrightarrow4x^2-20x+8=0\)\(\Leftrightarrow\left[\left(2x\right)^2-2.2x.5+25\right]-17=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)^2-\left(\sqrt{17}\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow\left(2x-5+\sqrt{17}\right)\left(2x-5-\sqrt{17}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\\x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{\dfrac{5\pm\sqrt{17}}{2}\right\}\)

Lời giải:

$x^2+2y^2+2xy-6x-8y+10=0$

$\Leftrightarrow (x^2+2xy+y^2)-6x-8y+y^2+10=0$

$\Leftrightarrow (x+y)^2-6(x+y)+9+(y^2-2y+1)=0$

$\Leftrightarrow (x+y-3)^2+(y-1)^2=0$

Do $(x+y-3)^2\geq 0; (y-1)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$

Do đó để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x+y-3)^2=(y-1)^2=0$
$\Leftrightarrow y=1; x=2$

Xét VT -VP = a^2 + b^2 +c^2 -ab -bc -ca

= 1/2 ( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab -2bc -2ac )

=1/2 ( a^2 -2ab - b^2 ) (b^2 - 2bc + c^2 ) ( a^2 -2ac + c^2 )

=1/2 {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2}

Vì 1/2 > 0

Và {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2} >0

Thì 1/2 {( a - b )^2 ( b - c )^2 ( a - c )^2} > 0

=> a^2 + b^2 +c^2 > ab + bc +ca

Lời giải:
Giả sử tổ dự định làm $a$ sản phẩm mỗi ngày trong 18 ngày

Số sản phẩm dự kiến: $18a$ (sp)

Số sản phẩm thực tế: $(a+5).16$ (sp)

Theo bài ra: $(a+5).16=18a+20$

$\Leftrightarrow 16a+90=18a+20$
$\Leftrightarrow a=30$  (sp)

Số sản phẩm dự kiến sản xuất: $18a=18.30=540$ (sản phẩm)

\(\dfrac{3x+1}{2018}+\dfrac{3x+2}{2017}=\dfrac{3x+3}{2016}+\dfrac{3x+4}{2015}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3x+1}{2018}+1\right)+\left(\dfrac{3x+2}{2017}+1\right)=\left(\dfrac{3x+3}{2016}+1\right)+\left(\dfrac{3x+4}{2015}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x+2019}{2018}+\dfrac{3x+2019}{2017}-\dfrac{3x+2019}{2016}-\dfrac{3x+2019}{2015}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+2019\right)\left(\dfrac{1}{2018}+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2015}\right)=0\)

Mà \(\dfrac{1}{2018}+\dfrac{1}{2017}-\dfrac{1}{2016}-\dfrac{1}{2015}< 0\)

\(\Rightarrow-\left(3x+2019\right)=0\Leftrightarrow x=-673\)

Ta có: \(1=a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).

\(P=\dfrac{a^3}{b+2c}+\dfrac{b^3}{c+2a}+\dfrac{c^3}{a+2b}=\dfrac{a^4}{ab+2ca}+\dfrac{b^4}{bc+2ab}+\dfrac{c^4}{ca+2bc}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).