a) Gọi \( \angle OAN = \angle OBM = \alpha \) (do chúng cùng nằm giữa OA và OB).
Ta có \( \angle OAB = \angle OBA \) (do OA > OB) và \( \angle OAN + \angle OAB = \angle OBM + \angle OBA = 180^\circ \).

Do đó, theo Định lý cạnh-góc-cạnh, ta có \( \triangle OAN \) đồng dạng với \( \triangle OBM \).

b) Gọi \( \angle AMN = \angle BNM = \beta \) (do chúng cùng nằm giữa AM và BN).
Ta có \( \angle AMB = \angle ANB \) (do \( \triangle OAN \) đồng dạng với \( \triangle OBM \)) và \( \angle AMN + \angle AMB = \angle BNM + \angle ANB = 180^\circ \).

Do đó, theo Định lý cạnh-góc-cạnh, ta có \( \triangle AMN \) đồng dạng với \( \triangle BNM \).

2 dòng cuối ở phần b, là gì vậy ạ

\(\dfrac{7}{8}-\left|3-x\right|=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left|3-x\right|=\dfrac{7}{8}-\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\left|3-x\right|=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3-x=\dfrac{1}{8}\\3-x=-\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{8}\\x=\dfrac{25}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x\in\left\{\dfrac{23}{8};\dfrac{25}{8}\right\}\).

A = \(\dfrac{2}{x^2+1}\)

A \(\notin\) Z ⇔ 2 không chia hết \(x^2\) + 1

⇒ \(x^2\) + 1 \(\notin\) Ư(2) 

Ư(2)  = 1; 2

⇒ \(x^2\) + 1 ≠ 1; 2 

th1: \(x^2\) + 1 ≠ 1 ⇒ \(x\)≠ 0; 

th2 \(x^2\) + 1  ≠ 2 ⇒ \(x\) \(\ne\) 1 ⇒ \(x\) ≠ \(\pm\) 1

Vây \(x\) \(\ne\) -1; 0; 1

Lời giải:

Xét tam giác $BAD$ và $BHD$ có:

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}=90^0$

$\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ (do $BD$ là phân giác $\widehat{B}$)

$BD$ chung

$\Rightarrow \triangle BAD=\triangle BHD$ (ch-gn)

$\Rightarrow BA=BH, DA=DH$

$\Rightarrow BD$ là trung trực của $AH$

$\Rightarrow BD\perp AH$

c. 

Xét tam giác $BKH$ và $BCA$ có:

$\widehat{B}$ chung

$BH=BA$ (chứng minh từ phần b) 

$\widehat{BHK}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle BKH=\triangle BCA$ (g.c.g)

$\Rightarrow BK=BC$

d.

Vì $BK=BC$ nên tam giác $BKC$ cân tại $B$

$\Rightarrow$ trung tuyến $BI$ đồng thời là phân giác $\widehat{B}$

Mà $BD$ là phân giác của $\widehat{B}$$\Rightarrow B,I,D$ thẳng hàng.

Hình vẽ: