chứng minh
\(2\sqrt{2}\left(\sqrt{3}-2\right)+\left(1+2\sqrt{2}\right)^2-2\sqrt{6}=9\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y,z>0 thỏa \(x^2+y^2+z^2< =3\)
Tìm GTNN của P= \(\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz, ta có:
\(M=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+xz}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{1+1+1+xy+yz+xz}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\)
\(=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1
\(P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}\ge\frac{9}{3+xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{9}{3+x^2+y^2+z^2}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
\(A=4-\sqrt{21-8\sqrt{5}}=4-\sqrt{4^2-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2}.\)
\(A=4-\sqrt{\left(4-\sqrt{5}\right)^2}=4-\left(4-\sqrt{5}\right)\)
=> \(A=\sqrt{5}\)
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right)+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}=-\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
\(\Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{1992}-\sqrt{1993}}\)
\(=-\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}-\sqrt{5}+...+\sqrt{1992}+\sqrt{1993}\)
\(=\sqrt{1993}-\sqrt{2}\)
Vậy P là số vô tỉ
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(=1+\frac{a+b}{ab}\)
\(\ge1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(=5\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5