giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài suy ra: 1/x+1/y = 1/z (x,y,z khác 0)                                                                                        suy ra: z.(x+y)=  x.y                                                                                                                                                                         k thể có /z/ >1 vì đôi lúc z có duy nhất 1 ước nguyên tố p > hoặc = 2 suy ra: p phải là ước của x hoặc y vô lý vì (x,z)=(y,z) = 1 Vậy z = -1,1                                                                                                                                                                             với z = -1 suy ra: x+y= xy suy ra: (x+1).(y+1) =1 suy ra: x+1 = -1 và y +1 = -1                                    

      suy ra ra: x=y=-2  suy ra: x,y có chung ước 2 vô lý vì (x,y)=1                                                                                                                 Với z =1 suy ra: x+y = xy suy ra : (x-1).(y-1) = 1                                                                                                                   suy ra: x-1 = 1 va y-1=1 suy ra: x=y=2 vo ly vi (x,y)= 1                                                                                                               vay k ton tai x,y thỏa mãn đk bài toán                                                                                                                                                                                                                                                              

Trước hết ta chứng minh:\(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)  (1)

Thật vậy: bất đẳng thức tương đương với:

   \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\frac{a+b}{ab}\)

  \(\Leftrightarrow4ab\le\left(a+b\right)^2\)

  \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

 \(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

 \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (Đúng)

Vậy (1) được chứng minh.

Tương tự: \(\frac{1}{b+c}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)      (2)

                  \(\frac{1}{c+a}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)    (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) suy ra:

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Đpcm

/(a+b+1)+1/(b+c+1)+1/(c+a+1) ≤ 1 
<=> (a+b+1)(b+c+1) + (b+c+1)(c+a+1) + (c+a+1)(a+b+1) ≤ (a+b+1)(b+c+1)(c+a+1) 

<=> (a+b)(b+c)+a+b+b+c+1 + (b+c)(c+a)+b+c+c+a+1 + (c+a)(a+b)+c+a+a+b+1 
≤ (a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)(a+b) +a+b+b+c+c+a+1 

<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b)(b+c)(c+a) 
<=> 2+2(a+b+c) ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc 
<=> 3 ≤ (a+b+c)(ab+bc+ca-2) 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
(a+b+c)(ab+bc+ca-2) ≥ 3.³√(abc) .[3³√(ab.bc.ca) -2] = 3 
=> đpcm 
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1

sory i'm in grade 6

Ta có: 

\(a^2-b=b^2-c=c^2-a\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=b-c\\b^2-c^2=c-a\\c^2-a^2=a-b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=\frac{b-c}{a-b}\\b+c=\frac{c-a}{b-c}\\c+a=\frac{a-b}{c-a}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\frac{b-c}{a-b}.\frac{c-a}{b-c}.\frac{a-b}{c-a}=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy Shwarz dạng Engel và BĐT AM - GM, ta có:

\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ac}+\frac{c^5}{ab}\)

\(=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\)

\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)

\(\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)

\(=a^3+b^3+c^3\left(\text{đ}pcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c