Do you know anything about the Bunyakovsky's inequality? It states that:

"With 2 sets of numbers \(\left(a_1,a_2,a_3,...,a_n\right)\) and \(\left(b_1,b_2,b_3,...,b_n\right)\), we have \(\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+...+b_n^2\right)\)\(\ge\left(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+...+a_nb_n\right)^2\)."

If you want to study more about this inequality, please check it on the Internet. Now, I'll give you the summary solution:

We have \(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\)\(\ge\left(a.1+b.1+c.1+d.1\right)^2\) 

\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge4\) (Because \(a+b+c+d=2\))

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)

"=" happens when \(a=b=c=d=\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Caushy ta có:

\(A^2+\dfrac{1}{4}\ge A;B^2+\dfrac{1}{4}\ge B;C^2+\dfrac{1}{4}\ge C;D^2+\dfrac{1}{4}\ge D\)

\(\Rightarrow A^2+B^2+C^2+D^2+1\ge A+B+C+D=2\)

\(\Leftrightarrow A^2+B^2+C^2+D^2\ge1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow A=B=C=D=1\)

\(x\left(x^3-y\right)+x^2\left(y-x^2\right)-y\left(x^2-3x\right)\)

\(=x^4-xy+x^2y-x^4-x^2y+3xy\)

\(=2xy\)

Thay \(x=\dfrac{1}{4};y=-2005\) vào, ta được:

\(2.\dfrac{1}{4}.\left(-2005\right)=\dfrac{1}{2}.\left(-2005\right)=-\dfrac{2005}{2}\)

Vì H là trung điểm AM

E là trung điểm MB

⇒ HE là đường trung bình của ΔAMB

⇒ HE//AB

mà AB//CD

⇒ HE//CD (1)

Xét hình thang ABDC

(có AC và BD là 2 cạnh bên . Khác với tam giác ABCD có AD và BD là 2 cạch bên)

có G là trung điểm DB

F là trung điểm AC

⇒ FG là đường trung bình của hình thang ABDC

⇒FG//CD (2)

Từ (1) và (2) ⇒ HE//GF

⇒HEFG là hình thang (đpcm)

Bạn tự vẽ hình nha

We have \(\dfrac{x^4-1}{2x-2}=\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{2\left(x-1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{2\left(x-1\right)}\)\(=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{2}=\dfrac{x^3+x^2+x+1}{2}\)

ĐKXĐ: \(2x-2\ne0\Leftrightarrow x\ne1\)

\(\dfrac{x^4-1}{2x-2}=\dfrac{(x^2)^2-1}{2x-2}=\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{2\left(x-1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)(x^2+1)}{2\left(x-1\right)}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{2}\)

Ta có: \(\left(1+2a\right)\left(1-2a\right)-a\left(a+2\right)\)

\(=1-4a^2-a^2-2a\)

\(=-5a^2-2a+1\)

Nhầm yêu cầu đề không bạn?

\(\left(1+2a\right)\left(1-2a\right)-a\left(a+2\right)\)

\(=1-\left(2a\right)^2-a\left(a+2\right)\)

\(=1-4a^2-a\left(a+2\right)\)

\(=1-4a^2-a^2-2a\)

\(=-5a^2-2a+1\)

Ta có: \(\dfrac{x-4}{x-1}+\dfrac{x+4}{x+1}=2\)  (đk: x khác 1 và -1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)+\left(x+4\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-3x-4+x^2+3x-4}{x^2-1}=2\)

\(\Rightarrow2x^2-8=2x^2-2\)

\(\Leftrightarrow0=6\) (vô nghiệm)

Vậy PT đã cho vô nghiệm

Bài 2:

a) \(5\left(x-1\right)\le6\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow5x-5\le6x+12\)

\(\Rightarrow x\ge-17\)

b) \(\dfrac{2x-1}{2}-\dfrac{x+1}{6}\ge\dfrac{4x-5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(2x-1\right)-\left(x+1\right)}{6}\ge\dfrac{2\left(4x-5\right)}{6}\)

\(\Rightarrow6x-3-x-1\ge8x-10\)

\(\Leftrightarrow3x\le6\)

\(\Rightarrow x\le2\)

...

\(\dfrac{x-4}{x-1}+\dfrac{x+4}{x+1}=2\)

ĐKXĐ: \(x\ne\pm1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\dfrac{\left(x+4\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow x^2-3x-4+x^2+3x-4=2\left(x^2-1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8-2x^2+2=0\)

\(\Leftrightarrow-6=0\) (Vô lí)

Vậy phương trình trên vô nghiệm.