ĐKXĐ: `x\ne-7;x\ne5`

`\frac{5}{x+7}=\frac{-14}{x-5}`

`\Rightarrow 5(x-5)=-14(x+7)`

`\Leftrightarrow 5x-25=-14x-98`

`\Leftrightarrow 5x+14x=-98+25`

`\Leftrightarrow 19x=-73`

`\Leftrightarrow x=-\frac{73}{19}` (tm ĐKXĐ)

ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

\(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{x}{x^2-x+1}=\dfrac{3x}{x^3+1}\)

=>\(\dfrac{x^2-x+1-x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{3x}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

=>\(x^2-x+1-x\left(x+1\right)=3x\)

=>\(x^2-x+1-x^2-x=3x\)

=>3x=-2x+1

=>5x=1

=>\(x=\dfrac{1}{5}\left(nhận\right)\)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{16}{x^2-4}\)

=>\(\dfrac{\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{16}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=>\(\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2=16\)

=>\(\left(x+2+x-2\right)\left(x+2-x+2\right)=16\)

=>\(4\cdot2x=16\)

=>x=2(loại)

b: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;3\right\}\)

\(\dfrac{x+3}{x-2}+\dfrac{x+2}{x-3}=2\)

=>\(\dfrac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)+\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=2\)

=>\(\dfrac{x^2-9+x^2-4}{x^2-5x+6}=2\)

=>\(2\left(x^2-5x+6\right)=2x^2-13\)

=>\(2x^2-10x+12=2x^2-13\)

=>-10x+12=-13

=>-10x=-25

=>x=2,5(nhận)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{3;0\right\}\)

\(\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{x-2}{x}=2\)

=>\(\dfrac{x\left(x+3\right)+\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)}=2\)

=>\(2x\left(x-3\right)=x\left(x+3\right)+\left(x-2\right)\left(x-3\right)\)

=>\(2x^2-6x=x^2+3x+x^2-5x+6=2x^2-2x+6\)

=>-6x=-2x+6

=>-4x=6

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\left(nhận\right)\)

b: ĐKXĐ: x<>0

\(\dfrac{x^2-6}{x}=x+\dfrac{3}{2}\)

=>\(\dfrac{x^2-6}{x}=\dfrac{2x+3}{2}\)

=>\(2\left(x^2-6\right)=x\left(2x+3\right)\)

=>\(2x^2+3x=2x^2-12\)

=>3x=-12

=>x=-4(nhận)

Đây là phương trình Pell loại 2 nhé bạn.

\(x^2-5y^2=-1\)    (1)

Xét phương trình liên kết với pt đã cho là \(x^2-5y^2=1\)     (2)

Ta thấy \(\left(9,4\right)\) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của pt (2)

Xét hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}9=x^2+5y^2\\4=2xy\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+5y^2=9\\xy=2\end{matrix}\right.\)   (3). Hệ (3) có nghiệm nguyên dương duy nhất là \(\left(2,1\right)\)

Xét các dãy số nguyên dương \(\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\) xác định bởi:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_0=2,x_1=38,x_{n+2}=18x_{n+1}-x_n\\y_0=1,y_1=17,y_{n+2}=18y_{n+1}-y_n\end{matrix}\right.\) với \(n\inℕ\)

Khi đó mọi cặp số \(\left(x_n,y_n\right)\) đều là nghiệm của pt đã cho.

VD: Chọn \(n=0\) thì \(\left(x_n,y_n\right)=\left(x_0;y_0\right)=\left(2,1\right)\). Thử lại: \(2^2-5.1^2=-1\) (thỏa mãn) 

 Chọn \(n=1\) thì \(\left(x_n;y_n\right)=\left(x_1;y_1\right)=\left(38;17\right)\). Thử lại:

\(38^2-5.17^2=-1\) (thỏa mãn)

 Dạng tổng quát của pt này là \(x^2-dy^2=-1\)     (1) với \(d\) là số nguyên dương không chính phương. 

 Khi đó xét pt liên kết với (1) là \(x^2-dy^2=1\)    (2). Gọi \(\left(a,b\right)\) là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của (2). 

 Xét hệ pt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x^2+dy^2\\b=2xy\end{matrix}\right.\)  (3). Nếu hệ (3) có nghiệm nguyên dương thì (1) cũng có nghiệm nguyên dương. Gọi \(\left(u,v\right)\) là nghiệm nguyên dương duy nhất của (3) thì xét dãy số nguyên dương \(\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}\) xác định bởi: 

 \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=a,x_1=u^3+3duv^2,x_{n+2}=2ax_{n+1}-x_n\\y_0=b,y_1=dv^3+3u^2v,y_{n+2}=2ay_{n+1}-y_n\end{matrix}\right.\) với \(n\inℕ\)

Khi đó \(\left(x_n,y_n\right)\) là tất cả các nghiệm nguyên dương của pt đã cho.

\(A=\sqrt{4+\sqrt{15}}+\sqrt{4-\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}-2\sqrt{6-2\sqrt{5}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left(\sqrt{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}-2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{3}-2\sqrt{5}+2\right)\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot2=\sqrt{2}\)

ĐKXĐ: \(x\ne2\)

\(\dfrac{x^2}{2-x}+\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{5}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{3x-1}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{2-x}=\dfrac{6-3x}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{2-x}=2-x\)

\(\Rightarrow x^2=\left(2-x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2=x^2-4x+4\)

\(\Leftrightarrow4x=4\)

\(\Leftrightarrow x=1\) (tm ĐKXĐ)

ĐKXĐ: \(x\ne0;x\ne2\)

\(\dfrac{x+2}{x}=\dfrac{x-3}{x-2}\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right)\left(x-2\right)=x\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-4=x^2-3x\)

\(\Leftrightarrow-3x=-4\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}\) (tm ĐKXĐ)