a)

\(A=2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{2010}\\ 2A=2\cdot\left(1+2+2^2+...+2^{2010}\right)\\ 2A=2+2^2+2^3...+2^{2011}\\ 2A-A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2011}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2010}\right)\\ A=2^{2011}-1\) 

b) \(B=1-3+3^2+...+3^{100}\)

\(B=3^2+3^3+...+3^{100}+\left(-2\right)\)

\(3B=3^3+3^4+...+3^{101}+\left(-2\right)\cdot3\)

\(3B-B=\left[3^3+3^4+...+3^{101}+\left(-6\right)\right]-\left[3^2+...+3^{100}+\left(-2\right)\right]\)

\(2B=\left(3^3-3^3\right)+\left(3^4-3^4\right)+...+\left(3^{101}-6-3^2+2\right)\)

\(2B=3^{101}-13\)

\(B=\dfrac{3^{101}-13}{2}\) 

Bài 4:

a) 

\(\dfrac{8}{x-8}+\dfrac{11}{x-11}=\dfrac{9}{x-9}+\dfrac{10}{x-10}\left(x\ne8;9;10;11\right)\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{8}{x-8}+1\right)+\left(\dfrac{11}{x-11}+1\right)=\left(\dfrac{9}{x-9}+1\right)+\left(\dfrac{10}{x-10}+1\right)\\ \Leftrightarrow\dfrac{x}{x-8}+\dfrac{x}{x-11}=\dfrac{x}{x-9}+\dfrac{x}{x-10}\\ \Leftrightarrow x\left(\dfrac{1}{x-8}+\dfrac{1}{x-11}-\dfrac{1}{x-9}-\dfrac{1}{x-10}\right)=0\\ TH1:x=0\left(tm\right)\)

 \(TH2:\dfrac{1}{x-8}+\dfrac{1}{x-11}-\dfrac{1}{x-9}-\dfrac{1}{x-10}=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{x-8}+\dfrac{1}{x-11}=\dfrac{1}{x-9}+\dfrac{1}{x-10}\\ \Leftrightarrow\dfrac{x-11+x-8}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}=\dfrac{x-10+x-9}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}\\ \Leftrightarrow\dfrac{2x-19}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}-\dfrac{2x-19}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}=0\\ \Leftrightarrow\left(2x-19\right)\left[\dfrac{1}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}-\dfrac{1}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}\right]=0\\ \Leftrightarrow2x-19=0\Leftrightarrow x=\dfrac{19}{2}\)

Vì: \(\dfrac{1}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}-\dfrac{1}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}\ne0\)

\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2009}+2^{2008}\\ 2S=2\left(1+2+2^2+...+2^{2008}\right)\\ 2S=2+2^2+2^3+...+2^{2009}\\ 2S-S=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2009}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2008}\right)\\ S=2^{2009}-1\)

Ta có \(A=n^2\left(n^4-n^2+2n+2\right)\)

\(A=n^2\left(n^4+n^3-n^3-n^2+2n+2\right)\)

\(A=n^2\left(n^3\left(n+1\right)-n^2\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^3-n^2+2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^3+n^2-2n^2+2\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^2\left(n+1\right)-2\left(n^2-1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)\left(n^2\left(n+1\right)-2\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right)\)

\(A=n^2\left(n+1\right)^2\left(n^2-2n+2\right)\)

Do đó, để A là số chính phương thì \(n^2-2n+2\) phải là số chính phương.

\(\Leftrightarrow n^2-2n+2=k^2\left(k\inℕ,k\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow k^2-n^2+2n-1=1\)

\(\Leftrightarrow k^2-\left(n-1\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(k+n-1\right)\left(k-n+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow k+n-1=k-n+1=1\)

\(\Leftrightarrow k=n=1\)

Thử lại: Với \(n=1\), ta thấy \(A=1^2-1^4+2.1^3+2.1^2=4\) là SCP.

Vậy \(n=1\) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn đề bài.

Bạn nên xét cả TH:\(n^2\left(n+1\right)^2=0\)  nữa nhé, do \(n=0\) cũng thỏa mãn A là số chính phương.

\(\dfrac{2n+5}{n-4}=\dfrac{2n-8+13}{n-4}=\dfrac{2\left(n-4\right)+13}{n-4}=2+\dfrac{13}{n-4}\)

Để \(\dfrac{2n-5}{n-4}\) là số nguyên thì 13 ⋮ n - 4

⇒ n - 4 ∈ Ư(13) = {1; -1; 13; -13}

⇒ n ∈ { 5; 3; 17; -9} 

Các giá trị nguyên của $n$ thỏa mãn điều kiện là $n=-9$ và $n=17$.

Gọi số điểm mà chi đội 9A đạt được ở HKI là: `x` (điểm)

      số điểm mà chi đội 9B đạt được ở HKI là `y` (điểm)

ĐK: \(0< x,y< 900\)

Tổng số điểm ở HKI mà 2 đội đạt đc mà 900 điểm nên ta có pt:

\(x+y=900\left(1\right)\)

Sang HKI chi đội 9A vượt 10% và chi đội 9B vượt 20% so với HKI nên tổng số điểm ở HKII là 930 điểm nên ta có pt:

\(x+10\%x+y+20\%y=930\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+10\%\right)+y\left(1+20\%\right)=930\Leftrightarrow1,1x+1,2y=930\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hpt: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=900\\1,1x+1,2y=930\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1500\\y=-600\end{matrix}\right.\left(ktm\right)\)

Vậy không có số điểm thỏa mãn 

Gọi số điểm tốt chi đội `9A` đạt được trong HKI là `x` `(0<x<900)`

Khi đó, số điểm tốt chi đội `9B` đạt được trong HKI là `y` `(0<y<900)`

Theo bài, trong HKI, chi đội `9A` và `9B` đạt được tổng `900` điểm tốt nên:

`x+y=900 (1)`

Lại có, khi sang HKII, chi đội `9A` vượt `10%` so với HK1 nên số học sinh chi đội `9A` đạt được điểm tốt trong HKII là: `x+10%x=x+0,1x=1,1x`

Và cũng trong HKII, chi đội `9B` vượt `20%` so với HKI nên số học sinh của chi đội `9B` đạt được số điểm tốt trong HKII là: `y+20%y=y+0,2y=1,2y`

Mà tổng hai chi đội đạt được trong HKII` là `930`, nên suy ra:

`1,1x+1,2y=930 (2)`

Từ `(1)` và `(2)`, ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=900\\1,1x+1,2y=930\end{matrix}\right.\)

giải ra,ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1500\\y=-600\end{matrix}\right.\) (không thỏa mãn)

Vậy không có số điểm tốt nào thỏa mãn. 

\(B=\dfrac{A.\left(x+16\right)}{5}\left(x\ge0\right)\\ =\dfrac{5}{3+\sqrt{x}}.\dfrac{x+16}{5}=\dfrac{x+16}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{x-9}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\sqrt{x}-3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\\ =\left(\sqrt{x}+3+\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\right)-6\)

\(\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}}-6=2\sqrt{25}-6=4\) (Áp dụng BĐT Cô Si. Do \(\sqrt{x}+3,\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}>0\forall x\inĐK\))

Dấu = xảy ra khi: \(\sqrt{x}+3=\dfrac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)^2=25\Rightarrow\sqrt{x}+3=5\) 

\(\Leftrightarrow x=4\left(TMDK\right)\)

Vậy GTNN B là: 4 tại x=4

\(-\dfrac{25}{20}>0\)

\(\dfrac{20}{25}>0\)

\(\Rightarrow-\dfrac{25}{20}< \dfrac{20}{25}\)

\(x^4+1997x^2+1996x+1997\)

\(=\left(x^4+x^3+x^2\right)+\left(-x^3-x^2-x\right)+\left(1997x^2+1997x+1997\right)\)

\(=x^2\left(x^2+x+1\right)-x\left(x^2+x+1\right)+1997\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1997\right)\)