a) Xét đường tròn (O; R) có I là trung điểm của dây AB

=> OI ⊥ AB (liên hệ giữa đường kính và dây cung)

=> ΔMIO vuông tại I => I, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

ΔMCO vuông tại C => C, M, O cùng thuộc đương tròn đường kính OM

ΔMDO vuông tại D => D, M, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM

=> I, M, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Xét ΔKOD và ΔKMI có: ˆKDO=ˆKIMKDO^=KIM^ (=90^o)

                                           ˆOKMOKM^ chung

=> ΔKOD ~ ΔKMI (g.g) => KOKM=KDKIKOKM=KDKI => KO.KI = KD.KM

c) Xét đường tròn (O; R), tiếp tuyến MC, MD => MO là phân giác ˆCMDCMD^; MD = MC

Lại có OC = OD = R => OM là trung trực của CD hay OM ⊥ CD.

Mà CD // EF => OM ⊥ EF. Lại có MO là phân giác ˆCMDCMD^ 

=> ˆCMO=ˆDMOCMO^=DMO^ => ΔEMO = ΔFMO (g.c.g)

=> S_EMO = S_FMO =1212S_EMF

Để S_EMF nhỏ nhất thì S_EMO nhỏ nhất

=> 1212EM.OC = 1212.R.EM nhỏ nhất => EM nhỏ nhất (do R cố định)

Ta có: EM = EC + CM ≥ 2√EC.CMEC.CM=2R (BĐT Cô-si)

Dấu "=" xảy ra ⇔ EC = CM => OC = CE = CM (t/c đường trung tuyến trong tam giác vuông) => ΔCMO vuông cân tại C => OM = OC√22 =R√22

Vậy để S_EMF nhỏ nhất thì M là giao điểm của (d) và (O; R√22)

\(B=\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}}{x-9}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3+x+4\sqrt{x}+3-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\).

Bài 5:

Ta có \(x^2+1=x^2+xy+yz+zx\) (vì \(xy+yz+zx=1\))

\(=x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x+y\)và \(x+z\), ta có:

\(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{x+y+x+z}{2}=\frac{2x+y+z}{2}=x+\frac{y+z}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}\le x+\frac{y+z}{2}\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{y^2+1}\le y+\frac{z+x}{2};\sqrt{z^2+1}\le z+\frac{x+y}{2}\)

Công vế theo vế của từng bất đẳng thức, ta có:

\(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\le x+\frac{y+z}{2}+y+\frac{z+x}{2}+z+\frac{x+y}{2}\)

\(=x+y+z+\frac{y+z+z+x+x+y}{2}\)\(=x+y+z+\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z+x+y+z=2\left(x+y+z\right)\)

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Mình không vẽ hình vì nó bảo duyệt, không hiện được câu trả lời lên. Với lại mình sẽ chia bài này làm 3 câu trả lời cho 3 câu a,b,c cho ngắn. Dài quá nó cũng bảo duyệt.

a) Xét đường tròn (O) có CA là tiếp tuyến tại A của (O) \(\Rightarrow CA\perp OA\)tại A \(\Rightarrow CA\perp BA\)tại A \(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A

Xét \(\Delta ABE\)nội tiếp đường tròn (O) có đường kính AB \(\Rightarrow\Delta ABE\)vuông tại E \(\Rightarrow AE\perp BC\)tại E \(\Rightarrow\)AE là đường cao của \(\Delta ABC\)

Xét \(\Delta ABC\)vuông tại A có đường cao AE \(\Rightarrow CA^2=CE.CB\left(htl\right)\)(đpcm)

Vô tin nhắn xem bài giải nha.

Không vẽ hình đc , sợ duyệt

a) Lấy \(E\)trên \(BC\)sao cho \(CDE=ADB\)

Tam giác \(CDE\)= tam giác \(ADB\left(g.g\right)\)

 Tỉ số các đường cao tương đương với ứng bằng tỉ số đóng dạng :

\(\frac{DH}{DK}=\frac{CE}{AB}=\frac{x}{z}=\frac{CE}{c}=\frac{c}{z}=\frac{CE}{x}\left(1\right)\)

Tương tự \(\frac{b}{y}=\frac{BE}{x}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra : \(\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=\frac{BE+CE}{x}=\frac{a}{x}\)

b) Xét S \(=\frac{a}{x}+\left(\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)=\frac{a}{x}+\frac{a}{x}=\frac{2a}{x}\). Do đó :

S nhỏ nhất \(\frac{a}{x}\)nhỏ nhất = x lớn nhất = \(D=M\)( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A )

HT

Mệt 

Đây ạ

HT

@@@@@@@@@@@@

Mình xin không vẽ hình vì nó bảo duyệt, không lên được. Với lại tớ sẽ chia bài này thành 5 câu trả lời (cho 3 câu a,b,c còn câu d chia làm 2 phần nữa) cho ngắn, dài quá nó cũng bảo duyệt.

a) Xét đường tròn (O) có 2 tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại M (gt)

\(\Rightarrow MA=MB\)\(\Rightarrow\)M nằm trên đường trung trực của đoạn AB. (1)

Mà \(OA=OB\left(=R\right)\)\(\Rightarrow\)O nằm trên đường trung trực của đoạn AB. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)OM là trung trực của đoạn AB, mà H là giao điểm của OM và AB \(\Rightarrow OM\perp AB\)tại H (đpcm)

c) Xét \(\Delta ABD\)có (O) là đường tròn ngoại tiếp, AD là đường kính \(\Rightarrow\Delta ABD\)vuông tại B \(\Rightarrow AB\perp GD\)tại B

Mà \(OM\perp AB\left(cmt\right)\)\(\Rightarrow OM//GD\left(\perp AB\right)\)

Vì AD là đường kính của (O) \(\Rightarrow\)O là trung điểm của AD.

Xét \(\Delta ADG\)có O là trung điểm AD, \(OM//GD\)và \(M\in AG\)\(\Rightarrow\)M là trung điểm AG \(\Rightarrow AM=MG\left(đpcm\right)\)