Sửa đề: \(x^2-4x+m-6=0\)

\(\text{Δ}=\left(-4\right)^2-4\cdot1\left(m-6\right)\)

\(=16-4m+24=-4m+40\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+40>0

=>-4m>-40

=>m<10

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=4\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-6\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+24=4x_2-x_1x_2\)

=>\(x_1^2+24=x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\)

=>\(x_1^2-x_2^2=-24\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=-24\)

=>\(x_1-x_2=-6\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=36\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=36\)

=>\(4^2-4\left(m-6\right)=36\)

=>4(m-6)=16-36=-20

=>m-6=-5

=>m=1(nhận)

Gọi số tờ tiền loại 200k và 100k lần lượt là a(tờ) và b(tờ)

(ĐK: \(a,b\in Z^+\))

Số tờ tiền là 15 tờ nên a+b=15(1)

Tổng số tiền là 2200000 nên ta có: 

200000a+100000b=2200000

=>2a+b=22(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=15\\2a+b=22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b-2a-b=15-22\\a+b=15\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-a=-7\\a+b=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=15-7=8\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: Số tờ 200K là 7 tờ, số tờ 100K là 8 tờ

1: Thay m=1 và n=5 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+\left(1+1\right)y=5\\\left(5-2\right)x-2y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+2y=5\\3x-2y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y+3x-2y=5-1\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4x=4\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\2y=5-x=5-1=4\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

2: Thay x=-1 và y=2 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}-1+2\left(m+1\right)=5\\\left(n-2\right)\cdot\left(-1\right)-2\cdot2=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m+1\right)=6\\-\left(n-2\right)=-1+4=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m+1=3\\n-2=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=-1\end{matrix}\right.\)

1: \(\Delta=2^2-4\cdot1\left(m-1\right)\)

\(=4-4m+4=-4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>-4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)

=>\(\left(-2\right)^3-3\cdot\left(-2\right)\left(m-1\right)-6\left(m-1\right)=4\left(m-m^2\right)\)

=>\(-8+6\left(m-1\right)-6\left(m-1\right)=4\left(m-m^2\right)\)

=>\(4\left(m^2-m\right)=8\)

=>\(m^2-m=2\)

=>\(m^2-m-2=0\)

=>(m-2)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m-2=0\\m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

2: \(x_1^2+2x_2+2x_1x_2+20=0\)

=>\(x_1^2-x_2\left(x_1+x_2\right)+2x_1x_2+20=0\)

=>\(x_1^2-x_2^2+x_1x_2+20=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)+m-1+20=0\)

=>\(-2\left(x_1-x_2\right)=-m-19\)

=>2(x1-x2)=m+19

=>\(x_1-x_2=\dfrac{1}{2}\left(m+19\right)\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(m+19\right)^2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\dfrac{1}{4}\left(m+19\right)^2\)

=>\(\left(-2\right)^2-4\left(m-1\right)=\dfrac{1}{4}\left(m+19\right)^2\)

=>\(4-4m+4=\dfrac{1}{4}\left(m+19\right)^2\)

=>\(\left(m+19\right)^2=4\left(-4m+8\right)=-16m+32\)

=>\(m^2+38m+361+16m-32=0\)

=>\(m^2+54m+329=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-7\left(nhận\right)\\m=-47\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Do \(a+b+c=m-2-2\left(m-1\right)+m=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm:

\(x=1\) và \(x=\dfrac{m}{m-2}\) (với \(m\ne2\))

Để 2 nghiệm của pt là độ dài 2 cạnh tam giác \(\Rightarrow\dfrac{m}{m-2}>0\)

Khi đó theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1+\dfrac{1}{\left(\dfrac{m}{m-2}\right)^2}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{m-2}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m}{m-2}=2\) (do \(\dfrac{m}{m-2}>0\))

\(\Leftrightarrow m=4\)

1: Ta có: ΔOEF cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI\(\perp\)EF

Xét tứ giác OIMA có \(\widehat{OIA}=\widehat{OMA}=90^0\)

nên OIMA là tứ giác nội tiếp

2: Xét ΔOMA vuông tại M có MH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OM^2\)

=>\(OH\cdot OA=OF^2\)

=>\(\dfrac{OH}{OF}=\dfrac{OF}{OA}\)

Xét ΔOHF và ΔOFA có

\(\dfrac{OH}{OF}=\dfrac{OF}{OA}\)

\(\widehat{HOF}\) chung

Do đó: ΔOHF~ΔOFA

\(\Delta=81-4\left(m-1\right)\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{85}{4}\)

Theo hệ thức Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=9\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2x_2+x_1^3=6x_1-1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2\left(x_1+x_2\right)-6x_1+1=0\)

\(\Leftrightarrow9x_1^2-6x_1+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x_1-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x_2=9-x_1=\dfrac{26}{3}\)

Thế vào \(x_1x_2=m-1\)

\(\Rightarrow m-1=\dfrac{26}{9}\Rightarrow m=\dfrac{35}{9}\)

a: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE\(\perp\)MB tại E

Xét tứ giác MCAE có \(\widehat{MCA}+\widehat{MEA}=90^0+90^0=180^0\)

nên MCAE là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔBFA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó: ΔBFA vuông tại F

Xét ΔBEA vuông tại E và ΔBCM vuông tại C có

\(\widehat{EBA}\) chung

Do đó: ΔBEA~ΔBCM

=>\(\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{BA}{BM}\)

=>\(BE\cdot BM=BA\cdot BC\left(1\right)\)

Xét ΔBFA vuông tại F và ΔBCN vuông tại C có

\(\widehat{FBA}\) chung

Do đó: ΔBFA~ΔBCN

=>\(\dfrac{BF}{BC}=\dfrac{BA}{BN}\)

=>\(BF\cdot BN=BA\cdot BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BE\cdot BM=BF\cdot BN\)