m, n ko chia hết cho 3 => Xét 2 trường hợp:

_m, n đều chia 3 dư 1

=> m=3k+1 ; n=3k'+1

=> m-n=(3k+1)-(3k'+1)=3k +1 - 3k'-1=3(k-k') chia hết cho 3

=> (m-n)(m+n) chia hết cho 3 hay m^2-n^2 chia hết cho 3(1)

_m chia 3 dư 1; n chia 3 dư 2(hoặc m chia 3 dư 2; n chia 3 dư 1)

Làm tương tự, xét tổng m+n chia hết cho 3

=> m^2-n^2 chia hết cho 3(2)

_Từ (1),(2)=> đpcm

Ta có: \(2\overline{xy}=\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(10x+y\right)=x^2+4x+4+y^2+8y+16\)

\(\Leftrightarrow x^2-16x+y^2+6y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-8\right)^2+\left(y+3\right)^2=53\)

Ta thấy do x, y là các chữ số nên (x - 8)² và (y + 3)² đều là các số chính phương.

Ta có 53 = 49 + 4 và \(y+3\ge3\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}x-8=2\\y+3=7\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=10\\y=4\end{cases}}\left(ktmđk\right)\)

Vậy không tồn tại số cần tìm.

tiếp tục câu 2,vì máy bị lỗi nên phải tách ra:

Ta có:\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+xz+yz\right)\right).\)

Dó đó:\(x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(\left(x+y+z\right)^2-3\left(xy+yz+xz\right)+2010\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^3.\)(2)

TỪ \(\left(1\right),\left(2\right)\)suy ra \(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}.\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{2010}}{3}\)

2)Ta có:

\(x\left(x^2-yz+2010\right)=x\left(x^2+xy+xz+1340\right)>0\)

Tương tự ta có:\(y\left(y^2-xz+2010\right)>0,z\left(z^2-xy+2010\right)>0\)

Áp dụng svac-xơ ta có:

\(P=\frac{x^2}{x\left(x^2-yz+2010\right)}+\frac{y^2}{y\left(y^2-xz+2010\right)}+\frac{z^2}{z\left(z^2-xy+2010\right)}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}.\)(1)

https://olm.vn/hoi-dap/question/1117914.html

gọi \(\left(x_0;y_0\right)\)là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm khi m thay đổi ta có

\(\left(m-3\right).x_0+5-m=y_0\)\(\forall m\)

\(\Leftrightarrow\)\(mx_0-3x_0+5-m-y_0=0\)\(\forall m\)

\(\Leftrightarrow\left(mx_0-m\right)-3x_0+5-y_0=0\)\(\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)-3x_0+5-y_0=0\)\(\forall m\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0-1=0\\-3x_0+5-y_0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=1\\-3+5-y_0=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=1\\-y_0=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_0=1\\y_0=2\end{cases}}\)

vậy đồ thị hàm số trên luon đi qua điểm \(\left(1;2\right)\)khi \(m\)thay đổi