Có nhiều người lạ lắm, mặc dù họ chẳng hề có ý định dành cho bạn một phần nhỏ xíu nào trong cuộc đời họ nhưng lúc nào cũng muốn là một phần rất quan trọng trong cuộc đời bạn.

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)

Cách 1: 

\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{(x^2+y^2+2xy)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)

                \(=\frac{\left(x+y^2\right)+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y^2\right)}{2}\)vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)

Cách 2:  \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(BĐT đúng)

Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)là BĐT đúng 

ĐKXĐ: \(x\ge4\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}+\sqrt{y^2-2y+4}=4\\\sqrt{x-4}+y=3\left(1\right)\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-1}=4-\sqrt{y^2-2y+4}\\\sqrt{x-4}=3-y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(4-\sqrt{y^2-2y+4}\right)^2\\\left(\sqrt{x-4}\right)^2=\left(3-y\right)^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=16-8\sqrt{y^2-2y+4}+y^2-2y+4\\x-4=y^2-6y+9\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-8\sqrt{y^2-2y+4}+y^2-2y+21\\x=y^2-6y+13\end{cases}}\)

\(\Rightarrow y^2-2y+21-8\sqrt{y^2-2y+4}=y^2-6y+13\)

\(\Leftrightarrow4y+8=8\sqrt{y^2-2y+4}\)\(\Leftrightarrow y+2=2\sqrt{y^2-2y+4}\)

\(\Rightarrow\left(y+2\right)^2=\left(2\sqrt{y^2-2y+4}\right)^2\Leftrightarrow y^2+4y+4=4y^2-8y+16\)

\(\Leftrightarrow3y^2-12y+12=0\Leftrightarrow y^2-4y+4=0\Leftrightarrow\left(y-2\right)^2=0\Leftrightarrow y-2=0\Leftrightarrow y=2\) 

Thay y=2 vào (1) suy ra \(\sqrt{x-4}+2=3\Leftrightarrow\sqrt{x-4}=1\Leftrightarrow x-4=1\Leftrightarrow x=5\left(tmdk\right)\)

Vậy (x;y)=(5;2)

Từ 2 điểm A kẻ đường tròn (A;1) và từ điểm B nằm ngoài (A;1) kẻ đường tròn (B;1). Giả sử có một điểm C nằm ngoài cả hai đường tròn thì CA>1, CB>1 và AB=3>1 (vô lí)

Vậy tất cả các điểm đều nằm trong 2 đường tròn này nên theo nguyên lí Dirichlet có 50 điểm nằm trong cùng một đường tròn bán kính 1 

mk cx thi

t.i.c.k nha

3 ngày nữa thi hsg cấp huyện

SAI ĐÓ

= 45

k

k

l

1x2x3x4x5x6x7x8x9x0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

tk cho mk rùi mk tk lại cho