C/M chia hết cho 3 và 8

\(\left(n^2+3n+1\right)-1=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=n\left(n+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Bn chứng minh biểu thức trên chia hết cho 3 và 2 nhé!

Sau đó lí luận là (3,2) = 1 và 3.2³=24 nên biểu thức chia hết cho 24  

P/s:  ( Nếu có sai sót mong thông cảm =))

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-2=a\\x+1=b\end{cases}}\Rightarrow2x-1=a+b\Rightarrow1-2x=-\left(a+b\right)\)

\(\left(x-2\right)^3+\left(x+1\right)^3+\left(1-2x\right)^3=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3-\left(a+b\right)^3=0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3-a^3-b^3-3ab\left(a+b\right)=0\)

\(\Rightarrow-3ab\left(a+b\right)=0\)

Từ đó a = 0 hoặc b = 0 hoặc a + b = 0

Hay x - 2 = 0 hoặc x + 1 = 0 hoặc 1 - 2x = 0

Vậy \(x\in\left\{2;-1;\frac{1}{2}\right\}\)

\(y^2+4^x+2y-2^{x+1}+2=0\Rightarrow\left(4^x-2^{x+1}+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(2^x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2^x-1=0\\y+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-1\end{cases}}\)

Điểm F có lẽ hơi thừa đấy.

Bạn c/m K là trực tâm của tam giác AEC \(\Rightarrow AK\perp EC\Rightarrow AI\perp EC\Rightarrow\widehat{AIC}=90^0\)

Gọi O là giao điểm của AC và BD thì O là trung điểm của AC và BD và AC = BD

Tam giác AIC vuông tại I có IO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow IO=\frac{1}{2}AC\Rightarrow IO=\frac{1}{2}BD\)

Tam giác BID có IO là trung tuyến và \(IO=\frac{1}{2}BD\Rightarrow\Delta BID\)vuông tại I

\(\Rightarrow S_{BID}=\frac{1}{2}.BI.ID\)(1)

Chứng minh được BDEC là hình bình hành nên \(BD//CE\)

Mà \(AI\perp CE\left(cmt\right)\Rightarrow IM\perp BD\)

Tam giác BID có đường cao IM \(\Rightarrow S_{BID}=\frac{1}{2}IM.BD\) (2)

Từ (1) và (2) có: \(IM.BD=DI.BI\)

\(N=\frac{4x+1}{4x^2+2}=\frac{-4x^2+4x-1+4x^2+2}{4x^2+2}=\frac{-\left(2x-1\right)^2}{4x^2+2}+1\le1\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi \(2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vật giá trị lớn nhất của N là 1 khi \(x=\frac{1}{2}\)

\(N=\frac{4x+1}{4x^2+2}=\frac{4x^2+2}{4x^2+2}-\frac{4x^2+4x-1}{4x^2+2}=1-\frac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+2}\le1\)

GTLN cua N la1 dau'=' xay ra khi x=\(\frac{1}{2}\)