PT \(\Leftrightarrow\left(y^2-5y+6\right)+56=\left(y-2\right)x^2+\left(y-2\right)\left(y-4\right)x\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(y-3\right)+56=\left(y-2\right)x^2+\left(y-2\right)\left(y-4\right)x\)

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x^2+yx-4x-y+3\right)=56\) 

\(\Leftrightarrow\left(y-2\right)\left(x-1\right)\left(x+y-3\right)=56\)

Ta nhận thấy x+y-3 là tổng của y-2, x-1

Đến đây ta xét lần lượt các trường hợp là ra

Xét đen-ta thử đi bạn

bien doi phuong trinh 2 tim dc quan het cua x y roi thay vao pt 1 la ra

ĐK: x + y khác 0 

\(\hept{\begin{cases}8x^2+8y^2+4xy-13+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}=0\left(1\right)\\x+y+\frac{1}{x+y}+x-y=1\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow5\left(x+y\right)^2+\frac{5}{\left(x+y\right)^2}+3\left(x-y\right)^2=13\)

<=> \(5\left(x+y+\frac{1}{x+y}\right)^2+3\left(x-y\right)^2=23\)

Đặt: \(x+y+\frac{1}{x+y}=a;x-y=b\) ta có hệ : 

\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\5a^2+3b^2=23\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}b=1-a\\5a^2+3\left(1-a\right)^2=23\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}}\) hoặc \(\orbr{\begin{cases}a=-\frac{5}{4}\\b=\frac{9}{4}\end{cases}}\)

+) Với \(\orbr{\begin{cases}a=2\\b=-1\end{cases}}\) ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x+y}=2\\x-y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x-y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

+) Với \(\orbr{\begin{cases}a=-\frac{5}{4}\\b=\frac{9}{4}\end{cases}}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{x+y}=-\frac{5}{4}\\x-y=\frac{9}{4}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2+\frac{5}{4}\left(x+y\right)+1=0\left(vonghiem\right)\\x-y=\frac{9}{4}\end{cases}}\) loại 

Vậy ( x; y ) = ( 0; 1)

Ta có:\(\left(a+b\right)\le\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow|a+b|\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)

Mà \(|a+b|\ge a+b\)

\(\Rightarrow a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\left(đpcm\right)\)

PT thứ hai của hệ tương đương với:

\(xy\left(x^2+y^2\right)+2=x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x^2+y^2-2\right)=0\)

+) TH1: xy = 1 thay vào PT thứ nhất của hệ đã cho được:

\(5x-4y+3y^3-2\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow y^3-2y+x=0\)

\(\Leftrightarrow y^4-2y^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm1\)

TH2: x² + y² = 2, thay vào PT thứ nhất của hệ đã cho được:

\(5x^2y-4xy^2+3y^2-\left(x^2-y^2\right)\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2+4x^2y-5xy^2-x^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^3-x^3\right)+\left(y^3+4x^2y-5xy^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(2xy-x\right)=0\)

Với: x = y tìm đc 2 nghiệm: (x, y) = (1; 1); ( \(\pm\)1)

Với: x = 2y thay vào x² + y² = 2, ta có: \(y=\pm\sqrt{\frac{2}{5}}\Rightarrow x=\pm2\sqrt{\frac{2}{5}}\)

Vậy HPT đã cho có 4 nghiệm: \(\left(x,y\right)=\left(1;1\right);\left(\pm1\right);\left(2\sqrt{\frac{2}{5}};\sqrt{\frac{2}{5}}\right);\left(-2\sqrt{\frac{2}{5}};-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)\)

a) Biến đổi tương đương, nếu ko quen với phân số thì nhân2 cho dễ nhìn

b) Tương tự câu a

làm giúp đi ạ

Thiếu dữ kiện bạn ơi

nhưng đề bài là vậy mà

Xét \(\sqrt{1+x^3}=\sqrt{\left(1+x\right)\left(1-x+x^2\right)}\le\frac{1+x+1-x+x^2}{2}=\frac{x^2+2}{2}\)

      \(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{1+x^3}}\ge\frac{2}{x^2+2}\)

Xét \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\left(b+c\right)^3}{a^3}}}\)  \(=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\)

       \(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left(1-\frac{b+c}{a}+\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}\right)}}\ge\frac{2}{\frac{\left(b+c\right)^2}{a^2}+2}\) 

         \(=\frac{2a^2}{b^2+c^2+2bc+2a^2}\ge\frac{2a^2}{2b^2+2c^2+2a^2}\) (1)  (cái này bạn tự quy đồng sau đó áp dụng cosi cho 2bc)

Tương tự  \(\sqrt{\frac{b^3}{b^3+\left(a+c\right)^3}}\ge\frac{2b^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\)  (2)     \(\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{2c^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\)  (3)

 Cộng các vế của (1),(2) và (3) ta có đpcm