Ta có a/b =b/c 

=> a^2/b^2=a/b.a/b= a/b.b/c=a/c(1)

Lại có a/b=b/c

=> a^2/b^2=b^2/c^2=a^2+b^2  /  b^2+c^2 (t/c dãy tỉ số = nhau) (2)

Từ (1),(2) => a/c=a^2+b^2  /  b^2+c^2

Ta có \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)=> \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2\)

                             => \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)mà \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
                            => \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{c}=\frac{a+b}{ab}\)

\(\Leftrightarrow2ab=c\left(a+b\right)\left(2\right)\)

Mà \(\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)

\(\Leftrightarrow ac-ab=ab-bc\)

\(\Leftrightarrow2ab=c\left(a+b\right)\left(1\right)\)

Nhận thấy ( 1 )=( 2 ) => đpcm

Có bị sai đề không

Mình không vẽ được hình

Không chứng minh được

Áp dụng BĐT \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\),ta được:

\(\left|2x-3\right|+\left|x^2+2\right|=\left|3-2x\right|+\left|x^2+2\right|\)\(\ge\left|x^2-2x+5\right|\)

Mà \(x^2-2x+5=\left(x-1\right)^2+4>0\)nên \(\left|x^2-2x+5\right|=x^2-2x+5\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\le0\\0\le x\le\frac{3}{2}\end{cases}}\))

Tại sao dấu bằng xảy ra lại như vậy?

Cách khác:

\(\left|2x-3\right|+\left|x^2+2\right|=x^2-2x+5\)

<=> \(\left|2x-3\right|+x^2+2=x^2-2x+5\)(vì x^2 + 2 > 0)

<=> \(\left|2x-3\right|=-2x+3\)

<=> \(\left|2x-3\right|=-\left(2x-3\right)\)

<=> \(2x-3\le0\)

<=> \(x\le\frac{3}{2}\)