Đặt vế trái là P, ta có:

\(P\le\sqrt{3\left(\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\right)}\)

Nên ta chỉ cần chứng mình: \(\sqrt{3\left(\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\right)}\le\dfrac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{z+3x}+\dfrac{y}{x+3y}+\dfrac{z}{y+3z}\le\dfrac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x}{z+3x}-1+\dfrac{3y}{x+3y}-\dfrac{3z}{y+3z}-1\le\dfrac{9}{4}-3\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{z}{z+3x}+\dfrac{x}{x+3y}+\dfrac{y}{y+3z}\ge\dfrac{3}{4}\)

BĐT trên đúng do:

\(\dfrac{z}{z+3x}+\dfrac{x}{x+3y}+\dfrac{y}{y+3z}=\dfrac{z^2}{z^2+3zx}+\dfrac{x^2}{x^2+3xy}+\dfrac{y^2}{y^2+3yz}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+xy+yz+zx}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{3}{4}\)

\(D\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{x}{1+yz}\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{y}{1+zx}\right)+\dfrac{z}{2+2xy}\)

\(=1+\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}+\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}+\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\)

Do \(0\le x;y;z\le1\)

\(\Rightarrow\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge0\Leftrightarrow xy+1\ge x+y\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+1\right)\ge xy+1+x+y\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\dfrac{z}{2\left(1+xy\right)}\le\dfrac{z}{x+y+z}\)

Tương tự: \(\dfrac{x}{2\left(1+yz\right)}\le\dfrac{x}{x+y+z}\) ; \(\dfrac{y}{2\left(1+zx\right)}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)

Cộng vế:

\(P\le1+\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+z}+\dfrac{z}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;0\right)\)

Thầy cho em hỏi xíu ạ

Tại sao: \(xy+1+x+y\ge x+y+z\)

Đặt vế trái BĐT cần chứng minh là P, ta có:

\(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}=\dfrac{1}{c\left(a^2+b^2\right)}+\dfrac{1}{a\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{1}{b\left(c^2+a^2\right)}\)

\(\ge\dfrac{9}{a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)}\ge\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge a^3+b^3+c^3+\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}\ge3\sqrt[3]{\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}\right)^2.\dfrac{9}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)

\(=3\sqrt[3]{\dfrac{9\left(a^3+b^3+c^3\right)}{8}}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27abc}{8}}=\dfrac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bài này mẫu số là \(\left(a+b+c\right)^3\) thì đúng hơn, mũ 2 cách làm vẫn y hệt nhưng cho 1 kết quả rất xấu

\(A\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{24\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\)

\(=3\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{192}{a+b+c}-48\)

\(=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{96}{a+b+c}+\dfrac{96}{a+b+c}+\left(3-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right)\left(a+b+c\right)^2-48\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{96^2.\sqrt{6}}{3}}+\left(3-\dfrac{\sqrt{6}}{3}\right).3\left(ab+bc+ca\right)-48=...\)

Thầy giải giúp em mấy bài kia luôn với ạ

a: vecto AB=(-2;4)=(-1;2)

Tọa độ I là:

x=(2+0)/2=1 và y=(-1+3)/2=1

Vì (d) vuông góc với BA tại I

nên (d) nhận vecto AB làm vecto pháp tuyến và đi qua I

=>Phương trình (d) là:

-1(x-1)+2(y-1)=0

=>-x+1+2y-2=0

=>-x+2y-1=0

=>x-2y+1=0

b: vecto AB=(-6;3)=(-2;1)

Tọa độ Ilà:

x=(5-1)/2=4/2=2 và y=(1+4)/2=5/2

Phương trình (d) là:

-2(x-2)+1(y-5/2)=0

=>-2x+4+y-5/2=0

=>-2x+y+3/2=0

a: \(C^2_{10}\cdot C^4_7\)

b: \(C^4_{10}\cdot C^3_7+C^5_{10}\cdot C^2_7+C^6_{10}\cdot C^1_7+C^7_{10}\)

=>2m+1=0

=>2m=-1

=>m=-1/2