a: \(B=\dfrac{2}{\sqrt{x}}-\dfrac{1-x}{x+\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{2\left(\sqrt{x}+1\right)+x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

b: A*B=A

=>\(A\left(B-1\right)=0\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\cdot\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}-1\right)=0\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0\)

=>\(\sqrt{x}-2=0\)

=>x=4(nhận)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x\left(x+2\right)}{2x^2+1}+\dfrac{2y\left(y+2\right)}{2y^2+1}+\dfrac{2z\left(z+2\right)}{2z^2+1}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x\left(x+2\right)}{2x^2+1}+1+\dfrac{2y\left(y+2\right)}{2y^2+1}+1+\dfrac{2z\left(z+2\right)}{2z^2+1}+1\ge3\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{\left(2x+1\right)^2}{2x^2+1}+\dfrac{\left(2y+1\right)^2}{2y^2+1}+\dfrac{\left(2z+1\right)^2}{2z^2+1}\ge3\)

Ta có:

\(2x^2=\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{2}{3}x^2=\dfrac{4}{3}x^2+\dfrac{2}{3}\left(y+z\right)^2\le\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

Tương tự: \(2y^2\le\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\) ; \(2z^2\le\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{\left(2x+1\right)^2+\left(2y+1\right)^2+\left(2z+1\right)^2}{\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+1}=\dfrac{4\left(x^2+y^2+z^2\right)+3}{\dfrac{4}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+1}=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right);\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2};1\right)\) và các hoán vị

Gọi số dòng trong trang là x(dòng) và số chữ trên một dòng là y(chữ)

(Điều kiện: \(x\in Z^+;y\in Z^+\))

Nếu bớt đi 4 dòng và mỗi dòng bớt đi 3 chữ thì cả trang sẽ bớt đi 136 chữ nên ta có:

(x-4)(y-3)=xy-136

=>xy-3x-4y+12=xy-136

=>-3x-4y=-136-12=-148

=>3x+4y=148(1)

Nếu tăng thêm 3 dòng và mỗi dòng tăng thêm 2 chữ thì cả trang sẽ tăng thêm 109 chữ nên ta có:
(x+3)(y+2)=xy+109

=>xy+2x+3y+6=xy+109

=>2x+3y=103(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=148\\2x+3y=103\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}6x+8y=296\\6x+9y=309\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=296-309=-13\\3x+4y=148\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=13\\3x=148-4y=148-4\cdot13=96\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=32\\y=13\end{matrix}\right.\)

Vậy: số dòng trong trang là 32(dòng) và số chữ trên một dòng là 13(chữ)

Đặt vế trái BĐT cần c/m là P

Bunhiacopxki:

\(\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{b}\right)\ge\left(a+1\right)^2\Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+\dfrac{1}{b}\right)}=\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}\)

Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2}\ge\dfrac{a+b}{\left(a+b\right)\left(ab+1\right)}=\dfrac{1}{ab+1}\)

Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1. Ko mất tính tổng quát, giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\ge ab+a+b+1\)

\(\Rightarrow2\left(ab+1\right)\ge\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{ab+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(ab+1\right)\left(c+1\right)}=\dfrac{c}{c+1}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(c+1\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

(d): y=mx+m-2

=>mx-y+m-2=0

\(d\left(O;\left(d\right)\right)=\dfrac{\left|0\cdot m+0\cdot\left(-1\right)+m-2\right|}{\sqrt{m^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|m-2\right|}{\sqrt{m^2+1}}\)

Để d(O;(d))=1 thì \(\dfrac{\left|m-2\right|}{\sqrt{m^2+1}}=1\)

=>\(\left|m-2\right|=\sqrt{m^2+1}\)

=>\(m^2+1=m^2-4m+4\)

=>-4m+4=1

=>-4m=-3

=>\(m=\dfrac{3}{4}\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge\left(1-2a\right)\left(1-2b\right)\left(1-2c\right)\)

\(\Leftrightarrow abc\ge1-2\left(a+b+c\right)+4\left(ab+bc+ca\right)-8abc\)

\(\Leftrightarrow abc+1\ge4\left(ab+bc+ca\right)-8abc\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca-2abc\le\dfrac{abc+1}{4}\le\dfrac{\dfrac{1}{27}\left(a+b+c\right)^3+1}{4}=\dfrac{7}{27}\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le2abc+\dfrac{7}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Trong 3 số a;b;c luôn có ít nhất 2 số cùng phía so với 1, không mất tính tổng quát giả sử đó là a và b

\(\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Rightarrow ab\ge a+b-1\)

\(\Rightarrow abc\ge ac+bc-c\Rightarrow2abc\ge2ac+2bc-2c\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2ab+2ac+2bc+\left(c-1\right)^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc+1\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc+10\ge\left(a+b+c\right)^2+9\ge6\left(a+b+c\right)\) (1)

Lại có:

\(2\left(a^2+1\right)+2\left(b^2+1\right)+2\left(c^2+1\right)\ge4\left(a+b+c\right)\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2abc+16\ge10\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x(giờ) và y(giờ)

(Điều kiện: x>0 và y>0)

\(3h20p=\dfrac{10}{3}\left(giờ\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được: \(\dfrac{1}{x}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\left(bể\right)\)

Trong 1 giờ, hai vòi chảy được \(1:\dfrac{10}{3}=\dfrac{3}{10}\left(bể\right)\)

Do đó, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{10}\left(1\right)\)

Trong 3 giờ, vòi 1 chảy được \(\dfrac{3}{x}\left(bể\right)\)

Trong 2 giờ, vòi 2 chảy được \(\dfrac{2}{y}\left(bể\right)\)

Nếu vòi 1 chảy trong 3 giờ và vòi 2 chảy trong 2 giờ thì hai vòi chảy được 4/5 bể nên ta có: \(\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{5}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{10}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}=\dfrac{9}{10}\\\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}-\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{y}=\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{5}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{10}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=10\\x=5\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là 5 giờ và 10 giờ

Đề hiển thị lỗi rồi. Bạn xem lại.