\(3x=y\)
\(\Rightarrow x=\dfrac{y}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}\)    (1)
\(5y=4z\)
\(\Rightarrow\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)
\(\Rightarrow\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)    (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{6x}{24}=\dfrac{7y}{84}=\dfrac{8z}{120}=\dfrac{6x+7y+8z}{24+84+120}=\dfrac{456}{228}=2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\cdot4=8\\y=2\cdot12=24\\z=2\cdot15=30\end{matrix}\right.\)
Vậy x = 8, y = 24 và z = 30

c: Xét ΔADB và ΔAEC có

AB=AC

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)

BD=CE

Do đó: ΔADB=ΔAEC

=>AD=AC

Xét ΔHDB vuông tại H và ΔKEC vuông tại K có

BD=CE

\(\widehat{HBD}=\widehat{KCE}\)

Do đó: ΔHBD=ΔKCE

=>HD=KE 

Ta có: ΔHBD=ΔKCE

=>\(\widehat{HDB}=\widehat{KEC}\)

mà \(\widehat{HDB}=\widehat{IDE}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KEC}=\widehat{IED}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{IDE}=\widehat{IED}\)

=>IE=ID

ta có: HD+DI=HI

KE+EI=KI

mà HD=KE và DI=EI

nên HI=KI

Ta có: AH+HB=AB

AK+KC=AC

mà HB=KC và AB=AC

nên AH=AK

Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

AH=AK

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

=>\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

Lời giải:
Đổi 1h45'=1,75 giờ

Tỉ số vận tốc của xe thứ nhất so với xe thứ hai là:

$\frac{1,75}{2}=\frac{7}{8}$

Tổng vận tốc hai xe: $150$ (km/h)

Vận tốc của xe 1: $150:(7+8)\times 7=70$ (km/h)

Vận tốc của xe 2: $150-70=80$ (km/h)

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}\left(1\right)\)

\(\dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\)

=>\(\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)

mà x-y-z=28

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x-y-z}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}=-\dfrac{28}{19}\)

=>\(x=-\dfrac{28}{19}\cdot8=-\dfrac{224}{19};z=-\dfrac{28}{19}\cdot12=-\dfrac{336}{19};z=-\dfrac{28}{19}\cdot15=-\dfrac{420}{19}\)

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}\Rightarrow\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}\left(1\right)\\ \dfrac{y}{4}=\dfrac{z}{5}\Rightarrow\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\left(2\right)\\ \left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}\)

Áp dụng TC dãy tỉ số bằng nhau :

\(\dfrac{x}{8}=\dfrac{y}{12}=\dfrac{z}{15}=\dfrac{x-y-z}{8-12-15}=\dfrac{28}{-19}\\ \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{224}{19}\\y=-\dfrac{336}{19}\\z=-\dfrac{420}{19}\end{matrix}\right.\)

3x=4y

=>\(\dfrac{x}{4}=\dfrac{y}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{15}\)

3y=5z

=>\(\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{3}\)

=>\(\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{9}\)

=>\(\dfrac{x}{20}=\dfrac{y}{15}=\dfrac{z}{9}=k\)

=>x=20k; y=15k; z=9k

xz=45

=>\(20k\cdot9k=45\)

=>\(k^2=\dfrac{45}{180}=\dfrac{1}{4}\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}k=\dfrac{1}{2}\\k=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

TH1: \(k=\dfrac{1}{2}\)

=>\(x=20\cdot\dfrac{1}{2}=10;y=15\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2};z=9\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{9}{2}\)

TH2: \(k=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(x=20\cdot\dfrac{-1}{2}=-10;y=15\cdot\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{15}{2};z=9\cdot\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{9}{2}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x-1}{2005}=\dfrac{3-y}{2006}=\dfrac{x-1+3-y}{2005+2006}=\dfrac{4009+2}{4011}=1\)

=>\(x-1=2005;3-y=2006\)

=>x=2005+1=2006; y=3-2006=-2003

2x=3y=5z

=>\(\dfrac{2x}{30}=\dfrac{3y}{30}=\dfrac{5z}{30}\)

=>\(\dfrac{x}{15}=\dfrac{y}{10}=\dfrac{z}{6}=k\)

=>x=15k; y=10k; z=6k

Ta có: xy=1,5

=>\(15k\cdot10k=1,5\)

=>\(150\cdot k^2=1,5\)

=>\(k^2=\dfrac{1.5}{150}=\dfrac{1}{100}\)

=>\(k=\dfrac{1}{10};k=-\dfrac{1}{10}\)

TH1: \(k=\dfrac{1}{10}\)

=>\(x=15\cdot\dfrac{1}{10}=\dfrac{15}{10}=1,5;y=\dfrac{10}{10}=1;z=\dfrac{6}{10}=0,6\)

TH2: \(k=-\dfrac{1}{10}\)

=>\(x=15\cdot\dfrac{-1}{10}=-1,5;y=\dfrac{-10}{10}=-1;z=-\dfrac{6}{10}=-0,6\)

\(\dfrac{1}{2}x=\dfrac{2}{3}y=\dfrac{3}{4}z\)

=>\(6x=8y=9z\)

=>\(\dfrac{6x}{72}=\dfrac{8y}{72}=\dfrac{9z}{72}\)

=>\(\dfrac{x}{12}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{8}\)

mà -x+y+z=25

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{12}=\dfrac{y}{9}=\dfrac{z}{8}=\dfrac{-x+y+z}{-12+9+8}=\dfrac{25}{5}=5\)

=>\(x=5\cdot12=60;y=5\cdot9=45;z=5\cdot8=40\)