a) Ta thấy điểm C nằm trên nửa đường tròn đường kính AB => ^ACB = 90⁰

Hay ^ACI = 90⁰ . Xét \(\Delta\)AIC có: ^ACI = 90⁰ ; ^CAI (=^CAD) = 30⁰

=> IA= 2.IC => \(\frac{IC}{IA}=\frac{1}{2}\)

Xét \(\Delta\)CID và \(\Delta\)AIB có: ^CID = ^AIB (Đối đỉnh); ^ICD = ^IAB (2 góc nội tiếp chắn cung BD)

=> \(\Delta\)CID ~ \(\Delta\)AIB (g.g) => \(\frac{CD}{AB}=\frac{IC}{IA}=\frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}.\)

b) Xét tứ giác ACIH: ^ACI = 90⁰; ^AHI = 90⁰ => Tứ giác ACIH nội tiếp đường tròn

=> ^IAH = ^ICH hay ^BAD = ^ICH. Mà ^BAD = ^BCD (2 góc nội tiếp chắn cung BD)

=> ^ICH = ^BCD = ^ICD => CI là phân giác ^DCH.

Chứng minh tương tự; ta có: DI là phân giác ^CDH

Xét \(\Delta\)CDH có: CI là phân giác ^DCH; DI là phân giác ^CDH

=> I là giao điểm của 3 đường phân giác của \(\Delta\)CDH (đpcm).

a,

\(A\Leftrightarrow\)\(\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}\right)^2+2\sqrt{x}+1}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)(1)

Để A xđ <=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\\sqrt{x}-1\ne0\\\sqrt{x}-3\ne0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\\x\ne9\end{cases}}\)

b , (1) <=> \(\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\left(\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+1-\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right)\)\(\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\frac{2}{x-1}\times\frac{x-1}{\sqrt{x}-3}\)

<=> \(\frac{2}{\sqrt{x}-3}\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}1-a\ge0\\a\left(a-1\right)\ge0\\\frac{a-1}{a}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le1\\a\le0\vee a\ge1\\a< 0\vee a\ge1\end{cases}}\Leftrightarrow a< 0\)

Khi đó \(A=\sqrt{1-a}+\sqrt{a\left(a-1\right)}-\sqrt{\frac{a^2\left(a-1\right)}{a}}\)

\(=\sqrt{1-a}+\sqrt{a\left(a-1\right)}-\sqrt{a\left(a-1\right)}\)

\(=\sqrt{1-a}\)

\(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}\) 

\(=\sqrt{2+2\sqrt{2}.\sqrt{1}+1}+\sqrt{4-2.2.\sqrt{2}+2}+\sqrt{8-2\sqrt{8}.\sqrt{1}+1}\) 

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{8}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}+\sqrt{8}-1\) 

\(=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)

P/s Nhi Cái Hằng Đẳng Thức cuối phân tích ra căn 8 là j sao ko ra thẳng 2 căn 2 luôn????

\(\sqrt{4-2\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}+\sqrt{9-4\sqrt{2}}\) 

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2-1}^2\right)}+\sqrt{\left(2-\sqrt{2}\right)^2}\)\(+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}\)

\(=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1\)\(=2\sqrt{2}\)

P/s mình có cách phân tích ra hằng đẳng thức easy hơn bạn Nhi nè :)))

\(2ab=2\sqrt{2}\Rightarrow ab=\sqrt{2}\Rightarrow\left(\sqrt{2}-1\right)^2\) Đó bạn chỉ cần lấy 2ab với cái 2ab ở trong hằng đẳng thức chia cả 2 vế cho 2 là đã có thể biết được hằng đẳng thức nhé

Đặt \(\sqrt{2x^2+x+1}=a,\sqrt{x^2-x+1}=b\left(a,b>0\right)\) 0)

=> phương trình tương đương với a+b=a²-2b²

Đến đây bạn tự làm tiếp

đặt \(\sqrt{2x^2+x+9}=a,\sqrt{2x^2-x+1}=b\left(a,b>0\right)\)

phuong trình tương đương vơi \(a+b=\frac{a^2-b^2}{2}\)

Đến đây bạn tự làm tiếp

\(\frac{1}{\sqrt{2013}-\sqrt{2014}}-\frac{1}{\sqrt{2014}-\sqrt{2015}}\)

\(=\frac{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}{\left(\sqrt{2013}-\sqrt{2014}\right)\left(\sqrt{2014}-\sqrt{2015}\right)}-\frac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{\left(\sqrt{2014}-\sqrt{2015}\right)\left(\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}{2013-2014}-\frac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{2014-2015}\)

\(=-\sqrt{2013}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)

\(=\sqrt{2015}-\sqrt{2013}\)

\(=\frac{\sqrt{2013}+\sqrt{2014}}{2013-2014}-\frac{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}{2014-2015}\)

\(=-\sqrt{2013}-\sqrt{2014}+\sqrt{2014}+\sqrt{2015}\)

\(=\sqrt{2015}-\sqrt{2013}\)