ta có :\(\sqrt{a^2+b^2}>\sqrt[3]{a^3+b^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)>\left(\sqrt[3]{a^3+b^3}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)>a^3+b^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)^2.\left(\sqrt{a^2+b^2}\right)^2>\left(a^3+b^3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+2a^2b^2+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)>\)\(a^6+2a^3b^3+b^6\)

( sau đó nhân phá ngoặc và rút gọn)

\(\Leftrightarrow3a^2b^4+3a^4b^2-2a^3b^3>0\) 

\(\Leftrightarrow a^2b^2.\left(3a^2+3b^2-2ab\right)>0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2.\left(a^2-2ab+b^2+2.\left(a^2+b^2\right)\right)>0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^2.\left(\left(a-b\right)^2+2\left(a^2+b^2\right)\right)>0\)(luôn đúng) => đpcm 

đell biết giải cũng đell cần thiết giải

Mình sửa câu b) nhé:

b) Viết quy trình tìm số hạng nhỏ nhất trong tất cả các số hạng của dãy sao cho: Un = n + 9696/n^2

\(\Leftrightarrow\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{n^2+n+2n+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n+1\right).\left(n+2\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-2}{2.3}+\frac{4-3}{3.4}+...+\frac{\left(n+2\right)-\left(n+1\right)}{\left(n+2\right).\left(n+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{x+2}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

n là số lẻ nên \(n=2k+1\)

Ta có : \(n^2=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1=4k\left(k+1\right)+1\)

Mà \(4k\left(k+1\right)⋮4\) nên\(n^2:4\)dư 1