\(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow MTC\) là \(\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(\dfrac{2x}{x^2+x+1}=\dfrac{2x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

\(\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

Ta có:

\(3x-3=3\left(x-1\right)\)

\(4-4x=-4\left(x-1\right)\)

\(x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Rightarrow\) MTC là \(3.\left(-4\right).\left(x-1\right)\left(x+1\right)=-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)

Do đó:

\(\dfrac{11x}{3x-3}=\dfrac{11x}{3\left(x-1\right)}=\dfrac{11x.\left(-4\right).\left(x+1\right)}{3\left(x-1\right).\left(-4\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{-44x\left(x+1\right)}{-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\dfrac{5}{4-4x}=\dfrac{5}{-4\left(x-1\right)}=\dfrac{5.3\left(x+1\right)}{-4\left(x-1\right).3\left(x+1\right)}=\dfrac{15\left(x+1\right)}{-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

\(\dfrac{2x}{x^2-1}=\dfrac{2x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{2x.\left(-12\right)}{-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{-24x}{-12\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

Bài 1:

a: Xét ΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

=>\(AC=2\cdot MN\)

=>\(2x+3=2\cdot7=14\)

=>2x=11

=>x=5,5(cm)

b: Xét ΔABD có

M,H lần lượt là trung điểm của AB,AD

=>MH là đường trung bình của ΔABD

=>MH=BD/2 và MH//BD

MH=BD/2

=>BD=2MH

=>\(10=2\left(5x-5\right)\)

=>\(5x-5=5\)

=>5x=10

=>x=2(cm)

c: Xét ΔDAC có

H,I lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>HI là đường trung bình của ΔDAC

=>HI//AC và \(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Ta có: MN//AC

HI//AC

Do đó: MN//HI

Ta có: \(MN=\dfrac{AC}{2}\)

\(HI=\dfrac{AC}{2}\)

Do đó: MN=HI

Xét tứ giác MNIH có

MN//IH

MN=IH

Do đó: MNIH là hình bình hành

d: Để MNIH là hình chữ nhật thì MN\(\perp\)MH

ta có: MN\(\perp\)MH

MN//AC

Do đó: MH\(\perp\)AC

Ta có: MH\(\perp\)AC

MH//BD

Do đó: BD\(\perp\)AC

Bài 2:

a: Ta có: \(\widehat{AKC}=\widehat{BAI}\)(hai góc đồng vị, AI//CK)

\(\widehat{ACK}=\widehat{CAI}\)(hai góc so le trong, AI//CK)

mà \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

nên \(\widehat{AKC}=\widehat{ACK}\)

=>ΔAKC cân tại A

b: Xét ΔABC có AI là phân giác

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

mà AC=AK

nên \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AK}{AB}\)

c: Ta có: \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}\)

mà IC+IB=BC=21

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{IC}{3}=\dfrac{IB}{4}=\dfrac{IC+IB}{3+4}=\dfrac{21}{7}=3\)

=>\(IC=3\cdot3=9\left(cm\right);IB=4\cdot3=12\left(cm\right)\)

nhìn hình ta thấy=))

Bài 2:

1: \(\dfrac{MN}{KN}=\dfrac{5}{3}\)

\(\dfrac{MP}{IP}=\dfrac{15}{9}=\dfrac{5}{3}\)

Do đó: \(\dfrac{MN}{KN}=\dfrac{MP}{IP}\)

2: Xét ΔMNP có \(\dfrac{MN}{KN}=\dfrac{MP}{IP}\)

nên KP//NP

Bài 3:

Xét ΔBAC có ID//AC

nên \(\dfrac{BI}{IA}=\dfrac{BD}{CD}\)

=>\(\dfrac{BI+IA}{IA}=\dfrac{BD+CD}{CD}\)

=>\(\dfrac{BA}{IA}=\dfrac{BC}{CD}\)

=>\(\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{AI}{AB}\)

Xét ΔABC có IK//BC

nên \(\dfrac{AI}{IB}=\dfrac{AK}{KC}\)

=>\(\dfrac{AI+IB}{IB}=\dfrac{AK+KC}{KC}\)

=>\(\dfrac{AB}{BI}=\dfrac{AC}{KC}\)

=>\(\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{IB}{BA}\)

\(\dfrac{CD}{CB}+\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{IB}{BA}+\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AB}{AB}=1\)

Bài 1:

AH+HC=AC

=>AH+12=18

=>AH=6(cm)

Xét ΔABC có KH//BC

nên \(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AK}{AB}\)

=>\(\dfrac{3}{AB}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\)

=>\(AB=3\cdot3=9\left(cm\right)\)

a)

\(\begin{array}{l}P = \left( {2k - 3} \right)\left( {3m - 2} \right) - \left( {3k - 2} \right)\left( {2m - 3} \right)\\ = 2k.3m - 2k.2 - 3.3m + 3.2 - \left( {3k.2m - 3k.3 - 2.2m + 2.3} \right)\\ = 6km - 4k - 9m + 6 - 6km + 9k + 4m - 6\\ = \left( {6km - 6km} \right) + \left( { - 4k + 9k} \right) + \left( { - 9m + 4m} \right) + \left( {6 - 6} \right)\\ = 5k - 5m\end{array}\)

b)

Ta có: \(P = 5k - 5m = 5.\left( {k - m} \right)\)

Vì \(5 \vdots 5\) và k, m nguyên nên P chia hết cho 5.

\(\begin{array}{l}A + B = \left( {5{x^2}y + 5x - 3} \right) + \left( {xy - 4{x^2}y + 5x - 1} \right)\\ = 5{x^2}y + 5x - 3 + xy - 4{x^2}y + 5x - 1\\ = \left( {5{x^2}y - 4{x^2}y} \right) + xy + \left( {5x + 5x} \right) + \left( { - 3 - 1} \right)\\ = {x^2}y + xy + 10x - 4\end{array}\)

a) \(M+P=2,5x^2y^3+8,5x^2y^3=\left(2,5+8,5\right)x^2y^3=11x^2y^3\)

b) \(M-P=2,5x^2y^3-8,5x^2y^3=\left(2,5-8,5\right)x^2y^3=-6x^2y^3\)

Học sinh tự thực hành.