Ta có: \(\dfrac{x}{6}\) = \(\dfrac{y}{12}\)
⇒\(\left(\dfrac{x}{6}\right)^2\) = \(\left(\dfrac{y}{12}\right)^2\) =\(\dfrac{xy}{6.12}\)= \(\dfrac{648}{72}\) = \(9\)
⇒\(\dfrac{x^2}{36}\) = \(9\) ⇒ \(x^2\) = \(324\)

    \(\dfrac{y^2}{144}=9\) ⇒ \(y^2=1296\)

⇒ \(x=\pm18\); \(y=\pm36\)
Vậy cặp số \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(18;36\right);\left(-18;-36\right)\right\}\)
    

Đặt \(\dfrac{x}{6}=\dfrac{y}{12}=k\Rightarrow x=6k;y=12k\)

Ta có: \(xy=648\)

\(\Rightarrow6k.12k=648\)

\(\Rightarrow72k^2=648\)

\(\Rightarrow k^2=648:72\)

\(\Rightarrow k^2=9\)

\(\Rightarrow k=\pm3\)

* Với \(k=1\Rightarrow x=6.1=6;y=12.1=12\)

* Với \(k=-1\Rightarrow x=6.\left(-1\right)=-6;y=12.\left(-1\right)=-12\)

Vậy \(x=6;y=12\) hoặc \(x=-6;y=-12\)

\(#Nulc`\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si: 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$a^3+a\geq 2a^2$

$b^3+b\geq 2b^2$

$c^3+c\geq 2c^2$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$

Lại có:

$a^2+1\geq 2a$

$b^2+1\geq 2b$

$c^2+1\geq 2c$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$

$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$

$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
a^3+2b^3=a^3+b^3+b^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^6}=3ab^2$

$a^3+1+1\geq 3a$

$b^3+1+1\geq 3b$

Cộng theo vế các BĐT trên:

$a^3+2b^3+(a^3+2)+2(b^3+2)\geq 3ab^2+3a+6b$

$\Leftrightarrow 2(a^3+2b^3)+6\geq 3(ab^2+a+2b)=3.4=12$

$\Rightarrow a^3+2b^3\geq (12-6):2=3$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

Áp dụng BĐT trị tuyệt đối:

\(A=\left|x+3\right|+\left|5-x\right|+\left|x-2\right|\ge\left|x+3+5-x\right|+\left|x-2\right|\)

\(\Rightarrow A\ge8+\left|x-2\right|\)

Mà \(\left|x-2\right|\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow A\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+3\right)\left(5-x\right)\ge0\\\left|x-2\right|=0\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=2\)

Lời giải:

$3\text{VT}=\frac{3a}{3a+1}+\frac{3b}{3b+1}+\frac{3c}{3c+1}$

$=1-\frac{1}{3a+1}+1-\frac{1}{3b+1}+1-\frac{1}{3c+1}$

$=3-\left[\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right]$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\geq \frac{9}{3a+1+3b+1+3c+1}=\frac{9}{3(a+b+c)+3}=\frac{9}{3.6+3}=\frac{3}{7}$

$\Rightarrow 3\text{VT}\leq 3-\frac{3}{7}=\frac{18}{7}$

$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\) \(\Rightarrow\dfrac{2x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{2x}{4}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{2x+y-z}{4+3-4}=\dfrac{6}{3}=2\)

\(\dfrac{x}{2}=2\Rightarrow x=2.2=4\)

\(\dfrac{y}{3}=2\Rightarrow y=2.3=6\)

\(\dfrac{z}{4}=2\Rightarrow z=2.4=8\)

Vậy \(x=4;y=6;z=8\)

Đề thiếu, em bổ sung đề lại

hình như đề thiếu bạn ạ

mong bạn bổ sung lại đề

A = \(\dfrac{1+2+2^2+...+2^{2004}}{1+2^5+2^{10}+...+2^{2000}}\)

Đặt B =  1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰⁰⁴

      2B = 2 + 2² + 2³ + ...+ 2²⁰⁰⁵

      2B - B = (2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁵) - (1 + 2 + 2² + .. + 2²⁰⁰⁴)

       B = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁵ - 1 - 2  - 2² - ... - 2²⁰⁰⁴

      B = (2 - 2) + (2² - 2²) + (2³ - 2³) + ... (2²⁰⁰⁴ - 2²⁰⁰⁴) + (2²⁰⁰⁵ - 1)

      B = 2²⁰⁰⁵ - 1

Đặt  C =  1  + 2⁵ + 2¹⁰ + ...   + 2²⁰⁰⁰

     2⁵C = 2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵

     32C - C = (2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵) - (1 + 2⁵ + 2¹⁰ +... +2²⁰⁰⁰)

     31C      =  2⁵ + 2¹⁰ + 2¹⁵ + ... + 2²⁰⁰⁵ - 1 - 2⁵ - 2¹⁰ - ... - 2²⁰⁰⁰

     31C      =(2⁵ - 2⁵) + (2¹⁰ - 2¹⁰) +...+ (2²⁰⁰⁰ - 2²⁰⁰⁰) + (2²⁰⁰⁵ - 1)

     31C     = 2²⁰⁰⁵ - 1

         C = \(\dfrac{2^{2005}-1}{31}\)

A = \(\dfrac{B}{C}\) = \(\dfrac{2^{2005}-1}{\dfrac{2^{2005}-1}{31}}\)

A = ( \(2^{2005}-1\)) x \(\dfrac{31}{2^{2005}-1}\)

A = 31

Ta có \(\widehat{CDE}\) = \(\widehat{DCB}\) = 70⁰ (hai góc so le trong)

         \(\widehat{DCY}\) + \(\widehat{BCD}\) = 180⁰ (hai góc kề bù)

       ⇒ \(\widehat{BCD}\) = 180⁰ - 70⁰ = 110⁰

         \(\widehat{DCE}\) = \(\dfrac{1}{2}\) \(\widehat{DCy}\) (CE là phân giác góc\(\widehat{DCy}\))

          \(\widehat{DCE}\) = 110⁰ x \(\dfrac{1}{2}\) = 55⁰

         \(\widehat{DEC}\) + \(\widehat{EDC}\) + \(\widehat{DCE}\) = 180⁰

         \(\widehat{DEC}\) = 180⁰ - 55⁰ - 70⁰

         \(\widehat{DEC}\) =  55⁰

         ⇒ \(\widehat{DEC}\) = \(\widehat{DCE}\) = 55⁰ 

          ⇒ \(\Delta\) DCE cân tại D ⇒DC = DE