a: Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC

mà Bx cắt trung trực của BC tại D nên OD là đường trung trực của BC

=>OD\(\perp\)BC tại trung điểm F của BC

Xét ΔDBC có

DF là đường trung tuyến

DF là đường cao

Do đó: ΔDBC cân tại D

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

DB=DC

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)

=>\(\widehat{OCD}=90^0\)

=>DC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét tứ giác BDCO có \(\widehat{DBO}+\widehat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)

nên BDCO là tứ giác nội tiếp

c: Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔEAB vuông tại E

=>BE\(\perp\)AD tại E

Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao

nên \(DE\cdot DA=DB^2\)

=>\(DE\cdot DA=DC^2\)(1)

Xét ΔDCO vuông tại C có CF là đường cao

nên \(DF\cdot DO=DC^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(DE\cdot DA=DC^2=DF\cdot DO\)

d: Ta có: CH\(\perp\)AB

DB\(\perp\)AB

Do đó: CH//DB

Xét (O) có

ΔBCA nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔBCA vuông tại C

=>BC\(\perp\)AN tại C

Ta có: \(\widehat{DCB}+\widehat{DCN}=\widehat{NCB}=90^0\)

\(\widehat{DBC}+\widehat{DNC}=90^0\)(ΔNCB vuông tại C)

mà \(\widehat{DCB}=\widehat{DBC}\)(ΔDBC cân tại D)

nên \(\widehat{DCN}=\widehat{DNC}\)

=>DC=DN

mà DC=DB

nên DN=DB(3)

Xét ΔADB có IH//DB

nên \(\dfrac{IH}{DB}=\dfrac{AI}{AD}\left(4\right)\)

Xét ΔADN có CI//DN

nên \(\dfrac{CI}{DN}=\dfrac{AI}{AD}\left(5\right)\)

Từ (3),(4),(5) suy ra CI=IH

=>I là trung điểm của CH

a: Thay a=2 vào (P), ta được:

\(y=a\cdot x^2=2x^2\)

Vẽ đồ thị

b: Thay x=-2 và y=3 vào (P), ta được:

\(a\cdot\left(-2\right)^2=3\)

=>4a=3

=>\(a=\dfrac{3}{4}\)

a: Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

b: Ta có: \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

=>\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\)

\(\widehat{MAN}\) chung

Do đó: ΔAMN~ΔACB

=>\(\widehat{AMN}=\widehat{ACB}\)

mà \(\widehat{AMN}+\widehat{BMN}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{BMN}+\widehat{BCN}=180^0\)

=>BMNC nội tiếp

c: Kẻ Ax là tiếp tuyến tại A của (O)

=>OA\(\perp\)Ax tại A

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ANM}\)(ΔABC~ΔANM)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{ANM}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên MN//Ax

=>MN\(\perp\)OA

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+6y-1=0\\3x+9y-\dfrac{3}{2}=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+6y=1\\3x+9y=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\dfrac{1}{2}\\x+3y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0x=0\\x+3y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\3y=\dfrac{1}{2}-x=\dfrac{1-2x}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in R\\y=\dfrac{1-2x}{6}\end{matrix}\right.\)