ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+x-1\ge0\\x-x^2+1\ge0\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có: 

\(\sqrt{x^2+x-1}\le\dfrac{\left(x^2+x-1\right)+1}{2}=\dfrac{x^2+x}{2}\)  (1)

\(\sqrt{x-x^2+1}\le\dfrac{\left(x-x^2+1\right)+1}{2}=\dfrac{x-x^2+2}{2}\)  (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

\(\sqrt{x^2+x-1}+\sqrt{x-x^2+1}\le x+1\)  (*)

Phương trình đã cho tương đương với: 

\(x^2-x+2\le x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\) (TM)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=1\)

Toán 9

Lời giải:
ĐKXĐ: $2\leq x\leq 6$

Đặt $\sqrt{x-2}=a; \sqrt{6-x}=b(a,b\geq 0)$

$a^2+b^2=4$

PT ban đầu trở thành:
$a+b=\sqrt{12-a^2b^2}$

$\Rightarrow (a+b)^2=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow 4+2ab=12-a^2b^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2+2ab-8=0$

$\Leftrightarrow (ab-2)(ab+4)=0$

Do $a,b\geq 0$ nên $ab\geq 0\Rightarrow ab=2$

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4+2.2=8$

$\Rightarrow a+b=2\sqrt{2}$

Do $a+b=2\sqrt{2}; ab=2$ nên theo định lý Viet đảo thì:

$a,b$ là nghiệm của PT $X^2-2\sqrt{2}X+2=0$

$\Rightarrow \sqrt{x-2}=\sqrt{6-x}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow x=4$ (tm)

- Xét \(\Delta ABC\) (cân tại A) có các đặc điểm như đề bài.

- Hạ \(AH\perp BC\) tại H, \(BK\perp AC\) tại K.

- \(\Delta ABC\) cân tại A có: \(AH\) là đường cao.

\(\Rightarrow AH\) cũng là trung tuyến.

\(\Rightarrow BH=CH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\)

- \(\Delta ABH\) vuông tại H có: 

\(AB^2=BH^2+AH^2\) (định lí Py-ta-go).

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\)

- \(\Delta AHC\) và \(\Delta BKC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHC}=\widehat{BKC}=90^0\\\widehat{ACB}chung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AHC\sim\Delta BKC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{BK}{AH}=\dfrac{BC}{AC}\Rightarrow BK=\dfrac{AH.BC}{AC}=\dfrac{8.12}{10}=9,6\)

Vậy cạnh bên và cạnh đáy của 1 tam giác cân dài 10 và 12 thì độ dài đường cao thuộc cạnh bên dài 9,6.

em tự vẽ hình nhé 

tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 10,   BC = 12 

kẻ đường cao AH cắt BC tại H ⇔ HB = HC = 1/2 BC = 12 : 2 =6

theo pytago ta có AH² = AB²  -   BH² = 10² - 6² = 64 ⇔ AH = 8

 diện tích tam giác ABC là BC.AH: 2 = 12 x 8 : 2 = 48

độ dài đườngcao thuộc cạnh bên là 48 x 2 : 10 = 9,6

kết luận

\(\sqrt{7}+\sqrt{5}< \sqrt{7}+\sqrt{7}=2\sqrt{7}\)

Mà \(2\sqrt{7}=\sqrt{28}< \sqrt{49}\) nên \(\sqrt{7}+\sqrt{5}< \sqrt{49}\)

`a)`\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\dfrac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\);\(ĐK:x>0\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1+x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\left(\sqrt{x}+1\right)\)

\(P=\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)

`b)`Thế `x=4` vào `P`, ta được:

\(P=\dfrac{4+\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}}=\dfrac{4+2+1}{2}=\dfrac{7}{2}\)

`c)`\(P=\dfrac{13}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\dfrac{13}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+\sqrt{x}+1\right)=13\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow3x-10\sqrt{x}+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\right)\left(3\sqrt{x}-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\x=\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right.\) ( tm )

Vậy \(S=\left\{9;\dfrac{1}{9}\right\}\)

\(a>0\)

\(\sqrt{49a^2}+3a=\left|7a\right|+3a=7a+3a=10a\)

\(\sqrt{5^{2^{ }}-4^2}\) = \(\sqrt{25-16}\) = \(\sqrt{9}\) = 3 

\(\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\)

biến đổi thành -[(căn x-2) -1]²  -[(căn x+1) -2]²+24 nhé bạn rồi suy ra max s=24 vs x=3 nhá