Chứng minh bất đẳng thức \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi chữ số hàng chục của số tự nhiên bạn đầu là : a \(\left(0< a< 10;a\in N\right)\)
Khi đó ta có :
+ Chữ số hàng đơn vị của số tự nhiên bạn đầu là : 14 - a
+ Số tự nhiên bạn đầu là : \(10a+\left(14-a\right)=9a+14\)
+ Số tự nhiên viết ngược lại là : \(10\left(14-a\right)+a=140-9a\)
Do số tự nhiên viết ngược lại lớn hơn số bạn đầu 18 đơn vị nên \(9a+14+18=140-9a\Rightarrow18a=108\Rightarrow a=6\)
Vậy số tự nhiên bạn đầu là : \(9.6+14=68\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(A=a^3+b^3+3ab\)
\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+3ab\)
\(=a^2-ab+b^2+3ab\)
\(=a^2+2ab+b^2\)
\(=\left(a+b\right)^2=1^2=1\)
\(B=4\left(a^3+b^3\right)-6\left(a^2+b^2\right)\)
\(=4\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-6a^2-6b^2\)
\(=4\left(a^2-ab+b^2\right)-6a^2-6b^2\)
\(=4a^2-4ab+4b^2-6a^2-6b^2\)
\(=-2a^2-4ab-2b^2\)
\(=-2\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(=-2\left(a+b\right)^2=-2.1^2=-2\)
a)\(\left(x-1\right)^3+3\left(x+1\right)^2=\left(x^2-2x+4\right)\left(x+2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3-3x^2+3x-1+3\left(x^2+2x+1\right)=x^3+8\)
\(\Leftrightarrow-3x^2+3x+3x^2+6x+3=9\)
\(\Leftrightarrow9x=6\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}\)
b) \(x^2-4=8\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-4=8x-16\)
\(\Leftrightarrow x^2-8x+12=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-6x+12=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-6\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-6\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-6=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=6\\x=2\end{cases}}\)
c) \(x^2-4x+4=9\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=9\left(x-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2-9\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-11\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x-11=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=11\end{cases}}\)
d) \(4x^2-12x+9=\left(5-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right)^2=\left(5-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-3=5-x\\2x-3=x-5\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\x=-2\end{cases}}\)
\(x^4+y^4\)
= \(\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+2x^2y^2-2x^2y^2\)
= \(\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2\)
= \(\left(x^2+y^2-\sqrt{2}xy\right)\left(x^2+y^2+\sqrt{2}xy\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
Bài làm
x4 + y4
= ( x2 )2 + 2x2y2 + ( y2 )2 - 2x2y2
= [ ( x2 )2 + 2x2y2 + ( y2 )2 ] - 2x2y2
= ( x2 + y2 )2 - 2x2y2
= ( x2 + y2 )2 - ( \(\sqrt{2}xy\))2
= ( x2 + y2 - \(\sqrt{2}xy\))( x2 + y2 + \(\sqrt{2}xy\))
# Học tốt #
\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\)
\(VT=\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=\sqrt{\left(\sqrt{5-2}\right)^2}-\sqrt{5}=\left|\sqrt{5}-2\right|-\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}=-2\)
Ta thấy VT = VF = -2
\(\Rightarrow\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
\(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}\)=\(\sqrt{\left(2\right)^2-2.2\sqrt{5}+5}-\sqrt{5}\)=\(\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}-\sqrt{5}\)=\(|2-\sqrt{5}|-\sqrt{5}\)=\(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\)=\(-2\)=Vế Phải (điều phải chứng min)
a) \(\left(x^2+2x-2\right)\left(x^2+2x+3\right)=6\)
Đặt \(x^2+2x=a\)
\(pt\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(a+3\right)=6\)
\(\Leftrightarrow a^2+a-6=6\)
\(\Leftrightarrow a^2+a-12=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+3a-4a-12=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a+3\right)-4\left(a+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-4\right)\left(a+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-4=0\\a+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4\\a=-3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+2x=4\\x^2+2x=-3\end{cases}}\)
\(Th1:x^2+2x=4\Leftrightarrow x^2+2x-4=0\)
\(\cdot\Delta=2+4.4=18\)
pt có 2 nghiệm \(x_1=\frac{-2+\sqrt{18}}{2}\);\(x_2=\frac{-2-\sqrt{18}}{2}\)
\(Th1:x^2+2x=-3\Leftrightarrow x^2+2x+3=0\)
\(\cdot\Delta=2-4.3=-10< 0\)
Vậy pt này không có nghiệm
Vậy \(x_1=\frac{-2+\sqrt{18}}{2}\);\(x_2=\frac{-2-\sqrt{18}}{2}\)
b) \(\left(x^2-4x+6\right)\left(x^2-4x+8\right)=8\)
Đặt \(x^2-4x=t\)
\(pt\Leftrightarrow\left(t+6\right)\left(t+8\right)=8\)
\(\Leftrightarrow t^2+14x+48=8\)
\(\Leftrightarrow t^2+14x+40=0\)
\(\Delta=14^2-4.40=36,\sqrt{\Delta}=6\)
pt có 2 nghiệm: \(t_1=\frac{-14+6}{2}=-4\);\(t_2=\frac{-14-6}{2}=-10\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-4x=-4\\x^2-4x=-10\end{cases}}\)
\(TH1:x^2-4x=-4\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
\(TH2:x^2-4x=-10\Leftrightarrow x^2-4x+10=0\)
\(\Delta=\left(-4\right)^2-4.10=-24< 0\)
Vậy pt này không có nghiệm
Vậy x = 2
Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\)
\(\left(a-c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow2\left(a^{2+}b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!