Cho đường tròn (O), bán kính R=6cm và điểm A cách O một khoảng 10cm. Từ A vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến bất kì ACD ( B, C, D thuộc (O).Gọi I là trung điểm CD
a/ Tính độ dài AB
b/ Chứng minh 4 điểm A, B, O, I cùng thuộc một đường tròn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
chuyển mỗi biểu thức trong cân về cùng bậc 2 ta có:
\(a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a\left(a+b+c\right)+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}=a^2+a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2-4ab}{4}\)
\(=\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2-bc\le\left(a+\frac{b+c}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le a+\frac{b+c}{2}\)
tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}\le b+\frac{c+a}{2}\\\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le c+\frac{a+b}{2}\end{cases}}\)
cộng theo vế của bđt trên ta được
\(P=\sqrt{a+\frac{\left(b-c\right)^2}{4}}+\sqrt{b+\frac{\left(c-a\right)^2}{4}}+\sqrt{c+\frac{\left(a-b\right)^2}{4}}\le2\left(a+b+c\right)=2\)
Vậy GTLN của P=2 đạt được khi a=b=0;c=1 và các hoán vị
a) Ta thấy: Tứ giác BKQC nội tiếp đường tròn => ^CKQ = ^CBQ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CQ) (1)
Ta có: MK // AD => ^CKM = ^CAD (Đồng vị) . Mà ^CAD = ^CBD (Cùng chắn cung CD) => ^CKM = ^CBD (2)
Từ (1) và (2) => ^CKQ = ^CKM => 2 tia KQ và KM trùng nhau => 3 điểm K,M,Q thẳng hàng (đpcm).
b) Sửa đề: "5 điểm M,S,Q,R,T thẳng hàng ?"
Chứng minh tương tự câu a, ta có: 3 điểm L,M,R thẳng hàng => ^RMQ = ^KML (Đối đỉnh)
Tứ giác AKML là hình bình hành => ^KML = ^KAL = ^CAD. Do đó; ^RMQ = ^CAD (3)
Lại có: ^RTQ = ^RED (Cùng chắn cung RD); ^RED = ^CED = ^CAD => ^RTQ = ^CAD (4)
Từ (3) và (4) => ^RMQ = ^RTQ => Tứ giác RTMQ nội tiếp hay 4 điểm R,T,M,Q thuộc 1 đường tròn (*)
Mặt khác: ^TRS = ^BDE = ^BCE = ^TQS => Tứ giác TRQS nội tiếp hay 4 điểm T,R,Q,S thuộc 1 đường tròn (**)
Từ (*) và (**) => 5 điểm M,S,Q,R,T cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm).
c) Giả sử S là 1 điểm chung của (PQR) và (O). Kẻ tia tiếp tuyến Fx của (O). Ta chứng minh Fx cũng là tiếp tuyến của (PQR)
Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của AF với (PQR) là N. Kéo dài tia AP cắt (O) tại I.
Do L,M,R thẳng hàng; ML // AC => MR // AC => ^RMF = ^CAF (Đồng vị). Mà ^CAF = ^REF
Nên ^RMF = ^REF => Tứ giác EMRF nội tiếp => ^RFM = ^REM hay ^RFN = ^REM
Ta thấy: ^RFN = ^RPN => ^REM = ^RPN. Do 2 góc này đồng vị nên PN // EM hoặc PN // BE (5)
Xét đường tròn (O): 2 dây CD // BE => (BC=(DE => ^BAC = ^EAD
Có ^MAB = ^PAE => ^MAB - ^BAC = ^PAE - ^EAD => ^CAF = ^DAI => (CF=(ID
Xét (O): (CF = (ID, F và I nằm cùng phía so với CD => IF // CD => IF // BE (6)
Từ (5) và (6) => PN // IF => ^FIA = ^NPA (Đồng vị)
Dễ dàng c/m được PF = PI (\(\Delta\)PCF = \(\Delta\)PDI) => ^PIF = ^PFI hay ^FIA = ^PFI
Ta lại có: ^PFx = ^PFI + ^IFx = ^FIA + ^FAI = ^NPA + ^FAI = ^NPA + ^NAP = ^FNP (Góc ngoài)
Mà ^FNP = 1/2.Sđ(FP => ^PFx = 1/2.Sđ(FP => Fx là tia tiếp tuyến của đường tròn (PQR) => Đpcm.
Sorry, "5 điểm M,S,Q,R,T cùng nằm trên 1 đường tròn", mik gõ lộn :(