Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và thỏa mãn: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi R là trung điểm của AH.
E là trung điểm của DH,R là trung điểm của AH nên ER là đường trung bình
\(\Rightarrow ER//DC\) mà \(DC\perp AB\Rightarrow ER\perp AB\)
Xét tam giác ABH có đường cao ER và AR cắt nhau tại R nên R là trực tâm tam giác ABH.
\(\Rightarrow BR\perp AH\)
Do ER là đường trung bình nên \(ER=\frac{1}{2}AC\) mặt khác \(BF=\frac{1}{2}BC\) mà \(AC=BC\Rightarrow ER=BF\)
Ta có ER=BF;ER//BF nên tứ giác ERBF là hình bình hành
\(\Rightarrow FE//BR\) mà \(BR\perp AE\) nên \(FE\perp AE\) ( đpcm )
\(\frac{3x^2y-4x^2y}{2xy+5x}=\frac{-x^2y}{x\left(2y+5\right)}=\frac{-xy}{2y+5}\)
=3x2y-2x+5x
=x(3xy-2+5)
=x(3xy+3)
=3x(xy+1)
mk ko bt cs đúng hơn
\(A=4x^2-4xy+5y^2+20x-6y+2044\)
\(=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+20x-6y+4y^2+2044\)
\(=\left(2x-y\right)^2+10\left(2x-y\right)+25+\left(4y^2+4y+1\right)+2018\)
\(=\left(2x-y+5\right)^2+\left(2y+1\right)^2+2018\ge2018\)
Dấu "=" xảy ra tại \(y=-\frac{1}{2};x=-\frac{11}{4}\)
Ta có \(A=4x^2-4xy+5y^2+20x-6y+2044\)
\(=4x^2-4x\left(y-5\right)+\left(y-5\right)^2+4y^2+4y+1+2018\)
\(=\left(2x-y+5\right)^2+\left(2y+1\right)^2+2018\)
Vì...\(\Rightarrow A\ge2018\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-y+5=0\\2y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{11}{4}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)
\(x^4+1\)
\(=x^3.x+1\)
\(=\left(x^3+1\right)\left(x+1\right)\)
\(=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\left(x+1\right)\)
\(x^4+1\)
\(=x^4+2x^2+1-2x^2\)
\(=\left(x^2+1\right)^2-\left(\sqrt{2}x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+1-\sqrt{2}x\right)\left(x^2+1+\sqrt{2}x\right)\)
\(a,x^2-2005x-2006=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+x-2006x-2006=0\)
\(\Leftrightarrow x\cdot\left(x+1\right)-2006\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x-2006\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x-2006=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=2006\end{cases}}}\)
a) \(x^2-2005x-2006=0\)
Ta có: \(2005^2+4.2006=4028049\)
pt có 2 nghiệm:
\(x_1=\frac{2005+\sqrt{4028049}}{2}\);\(x_2=\frac{2005-\sqrt{4028049}}{2}\)
Vậy tập nghiệm của pt là \(S=\left\{\frac{2005+\sqrt{4028049}}{2};\frac{2005-\sqrt{4028049}}{2}\right\}\)
\(12x^2y^3-10x^2y^3:5x^2y^2+4xy\left(1-3xy\right)^2\)
\(=12x^2y^3-2y+4xy\left(1-6xy+9x^2y^2\right)\)
\(=12x^2y^3-2y+4xy-24x^2y^2+36x^3y^3\)
\(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(c+b\right)\left(a+c\right)}{abc}=8\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}=64\)
Ta có
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(c+b\right)^2\ge4cb;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2\left(c+b\right)^2\left(a+c\right)^2}{a^2b^2c^2}\ge64\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)=> Đó là tam giác đều
Ta có: \(\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)=8\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{c}=8\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2+2abc=8abc\)
\(\Rightarrow a^2b+a^2c+b^2c+ab^2+ac^2+bc^2-6abc=0\)
\(\Rightarrow\left(ab^2-2abc+ac^2\right)+\left(a^2b-2abc+bc^2\right)+\left(a^2c-2abc+b^2c\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b^2-2bc+c^2\right)+b\left(a^2-2ac+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Rightarrow a\left(b-c\right)^2+b\left(a-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)(1)
Vì a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nên a, b, c > 0 (2)
Do đó \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\left(b-c\right)^2\ge0\\b\left(a-c\right)^2\ge0\\c\left(a-b\right)^2\ge0\end{cases}}\)(3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\left(b-c\right)^2=\left(a-c\right)^2=\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left(b-c\right)=\left(a-c\right)=\left(a-b\right)=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Vậy a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác đều