I. Nội qui tham gia "Giúp tôi giải toán"

1. Không đưa câu hỏi linh tinh lên diễn đàn, chỉ đưa các bài mà mình không giải được hoặc các câu hỏi hay lên diễn đàn;

2. Không trả lời linh tinh, không phù hợp với nội dung câu hỏi trên diễn đàn.

3. Không "Đúng" vào các câu trả lời linh tinh nhằm gian lận điểm hỏi đáp.

Các bạn vi phạm 3 điều trên sẽ bị giáo viên của Online Math trừ hết điểm hỏi đáp, có thể bị khóa tài khoản hoặc bị cấm vĩnh viễn không đăng nhập vào trang web.

a/ \(P=\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

b/ \(x^3=8-6x\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{x\left(x^2+6\right)}}=\frac{1}{\sqrt{x^3+6x}}=\frac{1}{\sqrt{8-6x+6x}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

bạn ơi đường thằng d2 có gì đó sai sai '_' x đâu bạn ? 

Dùng tách + chọn điểm rơi thôi

\(A=\frac{2x}{3}+\frac{x+3}{x-1}=\frac{2\left(x-1\right)}{3}+\frac{4}{x-1}+\frac{5}{3}\)

Áp dụng bđt Cô-si ta được

\(A\ge2\sqrt{\frac{2\left(x-1\right)}{3}.\frac{4}{x-1}}+\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{6}+5}{3}\)

Dấu "=" khi \(\frac{2\left(x-1\right)}{3}=\frac{4}{x-1}\)

Giải ra được \(x=1+\sqrt{6}\left(Tm\right)\)

Vây j...........

\(A=\frac{2\left(x-1\right)}{3}+\frac{x-1+4}{x-1}+\frac{5}{3}\)

\(=\frac{2\left(x-1\right)}{3}+\frac{4}{x-1}+1+\frac{5}{3}\)

\(=\left(\frac{2\left(x-1\right)}{3}+\frac{4}{x-1}\right)+\frac{5}{3}\)

Áp dụng BĐT Cô si,ta được:

\(A\ge2\sqrt{\frac{2\left(x-1\right)4}{3\left(x-1\right)}}+\frac{5}{3}=2\sqrt{\frac{8}{3}}+\frac{5}{3}\)

\(=2.\frac{\sqrt{24}}{\left|3\right|}+\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{6}}{3}+\frac{5}{3}=\frac{4\sqrt{6}+5}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi ...

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)  được

\(VT\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2

Vậy ...........

Cũng ko hẳn là cách khác nhưng xem cho vui v :) 

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}=\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\ge4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{2}\)

Ta có bđt \(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)\)

\(\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)\)

Áp dụng nhiều lần bđt trên ta được

\(\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(2x+y+z\right)+\left(x+2y+z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}\right)\)\)

\(\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right)\)\)

\(\(\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\right]\)\)

\(\(\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)

C/m tương tự cho các bđt còn lại

\(\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\)

\(\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\)\)

Cộng vế theo vế được

\(\(P\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)\)

Dấu "=" xảy ra

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x=6}\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\\frac{3}{2x}=6\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z\\x=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\)

\(\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{4}\)\)

Vậy ..........

cách khác :)) 

\(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\le3\)

\(P=\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\)

\(P=\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-z}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-y}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)-x}\)

\(\ge\frac{9}{9\left(x+y+z\right)-\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.3}=\frac{3}{8}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=a\\xy=b\end{cases}}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow a\left(a^2-3b\right)=b\sqrt{2\left(a^2-2b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left[a\left(a^2-3b\right)\right]^2=\left[b\sqrt{2\left(a^2-2b\right)}\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-4b\right)\left(a^4-2a^2b-b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2=4b\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Đk: \(x\ge1\)

Xét phương trình 2: \(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow y\ge1\)

=> Đặt x+y=a, x.y=b , a, b>=1 nên mới được bình phương hai vế Alibaba Nguyễn nhé!

Với x=y thế vào phương trình 2

\(4\sqrt{x+\sqrt{x^2-1}}=9\left(x-1\right)\sqrt{2x-2}\Leftrightarrow8\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=81\left(x-1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow8\left(x-\frac{5}{3}+\sqrt{x^2-1}-\frac{4}{3}\right)=81\left(x-1\right)^3-24\)

\(k_{max}=19.2017=38323\)

khó hiểu