a)35/50

b)24/42

c)275/250

d)21/30

(x + 1) + (2x + 3) + (3x + 5) + ... + (100x + 199) = 3020

Ta phá ngoặc và chia thành 2 vế:

(x + 2x + 3x + ... + 100x) + (1 + 3 + 5 + ... + 199) = 3 020

Đầu tiên ta tính số lượng x. Ở đây là tổng dãy số:

1 + 2 + 3 + ... + 100

Có 100 số hạng tất cả. Tổng của chúng là:

(1 + 100) x 100 : 2 = 5 050

⇒ Có 5 050x

Tiếp theo, ta tính tổng dãy số:

1 + 3 + 5 + ... + 199

Số số hạng của dãy là: 100. Do nếu thêm vào các số hạng chẵn ở sau, ta sẽ được 1 dãy gồm 200 số hạng, vậy nên chỉ cần lấy 1 nửa của 200 là 100 thôi.

Vậy tổng của dãy số là: (1 + 199) x 100 : 2 = 10 000

Ta viết lại biểu thức ban đầu:

5 050x + 10 000 = 3 020

5 050x                = 3 020 - 10 000

5 050x                = -6980

x                         = \(\dfrac{-6980}{5050}\)

Vậy x = \(\dfrac{-6980}{5050}\)

b) \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5};\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{5}=\dfrac{z}{4}=\dfrac{x-y+z}{2-5+4}=-21\) 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{2}=-21\Rightarrow x=2\cdot-21=-42\)

\(\Rightarrow\dfrac{y}{5}=-21\Rightarrow y=-21\cdot5=-105\) 

\(\Rightarrow\dfrac{z}{4}=-21\Rightarrow z=4\cdot-21=-84\)

Lời giải:

Đặt $\frac{2x-1}{5}=\frac{3y-2}{3}=k$

$\Rightarrow x=\frac{5k+1}{2}; y=\frac{3k+2}{3}$

Khi đó:

$x+y=2$

$\Rightarrow \frac{5k+1}{2}+\frac{3k+2}{3}=2$

$\Rightarrow 2,5k+k+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=2$

$\Rightarrow 3,5k+\frac{7}{6}=2$

$\Rightarrow 3,5k=\frac{5}{6}$

$\Rightarrow k=\frac{5}{21}$

Khi đó:

$x=\frac{5k+1}{2}=\frac{23}{21}$

$y=\frac{3k+2}{3}=\frac{19}{21}$

Ta có:

10²⁰²¹ = 100...000 (2021 chữ số 0)

⇒ 10²⁰²¹ + 539 = 100...0539 (2018 chữ số 0)

⇒ Tổng các chữ số của 100...0539:

1 + 0 + 0 + ... + 0 + 5 + 3 + 9 = 18

Mà 18 ⋮ 9

⇒ 100...0539 ⋮ 9

Vậy (10²⁰²¹ + 539)/9 là một số tự nhiên

Lời giải:

Với $a,b,c$ nguyên dương thì:

$1=\frac{1}{a}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b+c}< \frac{3}{a}$

$\Rightarrow a< 3$

$a$ là số nguyên dương nên $a=1,2$

Nếu $a=1$ thì $\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+b+c}=1-\frac{1}{a}=0$ (vô lý - loại)

$\Rightarrow a=2$

Khi đó:

$\frac{1}{b+2}+\frac{1}{b+c+2}=\frac{1}{2}$

Mà $\frac{1}{b+2}+\frac{1}{b+c+2}< \frac{2}{b+2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}< \frac{2}{b+2}$

$\Rightarrow b+2<4\Rightarrow b<2\Rightarrow b=1$

Khi đó: $\frac{1}{3}+\frac{1}{c+3}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{c+3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow c+3=6\Rightarrow c=3$