Cho tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Các đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại G. Nối A với G kéo dài cắt BC tại P. Chứng tỏ các tam giác GMA, GMB, GNA, GNC, GPB, GPC có diện tích bằng nhau.( giúp mik với...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Các đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại G. Nối A với G kéo dài cắt BC tại P. Chứng tỏ các tam giác GMA, GMB, GNA, GNC, GPB, GPC có diện tích bằng nhau.( giúp mik với )
Hai tg GMA và tg GMB có chung đường cao từ G->AB nên và MA=MB nên
\(S_{GMA}=S_{GMB}\) (1)
Tương tự ta cũng có \(S_{GNA}=S_{GNB}\) (2)
Hai tg AMC và tg ABC có chung đường cao tà C->AB nên
\(\dfrac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMC}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)
Hai tg ANB và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên
\(\dfrac{S_{ANB}}{S_{ABC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ANB}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{AMC}=S_{ANB}\) Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{AMGN}\Rightarrow S_{GMB}=S_{GNC}\) (3)
Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow S_{GMA}=S_{GMB}=S_{GNA}=S_{GNC}\) (4)
\(\Rightarrow S_{GMA}+S_{GMB}=S_{GNA}+S_{GNC}\Rightarrow S_{ABG}=S_{ACG}\)
Hai tg ABG và tg ACG có chung AG nên
đường cao từ B->AP = đường cao từ C->AP
Hai tg GPB và tg GPC có chung GP và đường cao từ B->AP = đường cao từ C->AP nên
\(S_{GPB}=S_{GPC}\) (5)
Hai tg GPB và tg GPC có chung đường cao từ G->BC nên
\(\dfrac{S_{GPB}}{S_{GPC}}=\dfrac{BP}{CP}=1\Rightarrow BP=CP\)
Hai tg APB và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên
\(\dfrac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ABP}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)
\(S_{BMC}=S_{ABC}-S_{AMC}=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}xS_{ABC}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)
\(\Rightarrow S_{APB}=S_{BMC}\) Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{BMGP}\Rightarrow S_{GMA}=S_{GPC}\) (6)
Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow S_{GMA}=S_{GMB}=S_{GNA}=S_{GNC}=S_{GPB}=S_{GPC}\)