Xét △ABD và △BAC có :

   AD = BC (gt)

   AB chung

   ^A = ^B (gt)

\(\Rightarrow\)△ABD = △BAC (cgc)

\(\Rightarrow\)^ADB = ^ BCA

Mà ^ADC = ^BCD

\(\Rightarrow\)^ODC = ^OCD

Lại có : AC ⊥ BD

\(\Rightarrow\)△OCD vuông cân tại O

Chứng minh tương tự với △OAB :

\(\Rightarrow\)ĐPCM

Áp dụng định lí Pitago vào  △OAB vuông tại O có :

Có: OA²  + OB² = AB²

=> 2OA² = 16

=> OA = \(2\sqrt{2}\)cm

Tương tự: OD = \(4\sqrt{2}\)cm

Kẻ MN đi qua O và vuông góc với AB(tại M) và CD(tại N)

=> M là trung điểm AB ; N là trung điểm CD (vì ABCD là hình thang cân)

Có: OM² = OA² - AM² = \(\left(2\sqrt{2}\right)^2-2^2\) = 8 - 4 = 4 cm

=> OM = 2cm

Tương tự chứng minh :

=> ON = 4 cm

=> MN = 6 cm

Vậy SABCD = \(\frac{\left(4+8\right).6}{2}=36\)  cm2

có 129 tỷ người

\(3x-7=13-x\)

\(\Rightarrow3x+x=13+7\)

\(\Rightarrow4x=20\)

\(\Rightarrow x=5\)

Đặt \(NCTK=VT\)

\(\Rightarrow2NCTK=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...\)

\(+\frac{1}{2005.2006}-\frac{1}{2006.2007}\)

\(\Rightarrow2NCTK=\frac{1}{2}-\)\(\frac{1}{2006.2007}\)

\(\Rightarrow NCTK=\frac{1}{4}-\frac{1}{2.2006.2007}\)

Đặt \(KN=1.2+2.3+...+2006.2007\)

\(3KN=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+...+2006.2007\left(2008-2005\right)\)

\(=2006.2007.2008\)

\(KN=\frac{2006.2007.2008}{3}\)

...

Giải thích các bước giải:

a. Vì DM⊥AB⇒ˆDMA=90oDM⊥AB⇒DMA^=90o,

DN⊥AC⇒ˆDNA=90oDN⊥AC⇒DNA^=90o,

ΔABC⊥A⇒ˆA=90oΔABC⊥A⇒A^=90o

⇒◊AMDN⇒◊AMDN là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pitago vào ΔAMD⊥M,AM=3cm,AD=5cmΔAMD⊥M,AM=3cm,AD=5cm có:

MD=√AD2−AM2=4cmMD=AD2−AM2=4cm

⇒SAMDN=AM.DM=12cm2⇒SAMDN=AM.DM=12cm2

b. Gọi AD∩MN=E⇒EAD∩MN=E⇒E là trung điểm AD, MN

Mà AH⊥BCAH⊥BC

ΔAHD⊥H,EΔAHD⊥H,E là trung điểm cạnh huyền ADAD

⇒EH=EA=ED=EM=EN⇒EH=EA=ED=EM=EN

⇒ΔMHN⇒ΔMHN vuông tại HH

⇒ˆMHN=90o⇒MHN^=90o

c. Gọi G,IG,I là  trung điểm AB,ACAB,AC suy ra GIGI là đường trung bình của ΔABCΔABC

⇒GI//BC⇒GI//BC

⇒GE,EI⇒GE,EI là đường trung bình ΔABD,ΔADC⇒GE//BD,EI//DCΔABD,ΔADC⇒GE//BD,EI//DC hay GE,EI//BCGE,EI//BC

⇒E∈GI⇒E∈GI

⇒⇒ Trung điểm EE của MNMN di chuyển trên đường trung bình ΔABCΔABC.

\(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\x=y=z\end{cases}}\)

Trường hợp x=y=z thì không phải bàn,ns cái trường hợp x+y+z=0

\(\frac{1}{x^2+y^2-z^2}=\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy-z^2}=\frac{1}{\left(-z\right)^2-z^2-2xy}=\frac{1}{-2xy}\)

Tương tự rồi cộng lại thì \(BT=0\) thì phải

Condition\(\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\\z\ne0\end{cases}}\)

Put \(P=\frac{1}{x^2+y^2-z^2}+\frac{1}{y^2+z^2-x^2}+\frac{1}{z^2+x^2-y^2}\)

\(=\frac{1}{x^2+\left(y-z\right)\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^2+\left(z-x\right)\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^2+\left(x-y\right)\left(x+y\right)}\left(4\right)\)

Because \(x^2+y^2+z^2=3xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+z^3-3xyz-3xy\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)=0\)ư\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+y+z=0\\\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\)

The first case: If \(x+y+z=0\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=-z\\y+z=-x\\z+x=-y\end{cases}\left(2\right)}\)

From \(\left(1\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=-2y-z\\y-z=-2z-x\\z-x=-2x-y\end{cases}\left(3\right)}\)

 \(\left(2\right)\)and \(\left(3\right)\)into \(\left(4\right)\)we have

\(P=\frac{1}{x^2-x\left(-2z-x\right)}+\frac{1}{y^2-y\left(-2x-y\right)}+\frac{1}{z^2-z\left(-2y-z\right)}\)

\(=\frac{1}{2x^2+2xz}+\frac{1}{2y^2+2xy}+\frac{1}{2z^2+2yz}\)

\(=\frac{1}{2x\left(x+z\right)}+\frac{1}{2y\left(x+y\right)}+\frac{1}{2z\left(z+y\right)}\)

\(\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2zx}\)

\(\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2zx}\)

\(=\frac{z+x+y}{-2xyz}=0\)( Because x+y+z=0)

The second case:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\left(5\right)\)

We have \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0;\forall x,y,z\\\left(y-z\right)^2\ge0;\forall x,y,z\\\left(z-x\right)^2\ge0;\forall x,y,z\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0;\forall x,y,z\left(6\right)\)

From \(\left(5\right),\left(6\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y\\y=z\\z=x\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z}\)

Because \(x=y=z\Rightarrow x^2=y^2=z^2=xy=yz=zx\)

So \(P=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)

\(=\frac{z+x+y}{xyz}=0\)

So...