Ta có:

\(A=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n\left(n+1\right).3\)

\(=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=1.2.3-1.2.3+2.3.4-...-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

thank

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

Góc C + góc ABC = 90^o  (định lí)

=> Góc ABC = 90^o - góc C = 90^o - 30^o = 60^o

=> Góc ABD = góc CBD = 60^o : 2 = 30^o

Xét tam giác ABD có: 

Góc A = 90^o (vì tam giác ABC vuông tại A) ; góc ABD = 30^o (chứng minh trên)

=> AD = BD : 2 (định lí)

=> 2AD = BD  (1)

Lại có: góc C = 30^o (gt)

            góc CBD = 30^o (chứng minh trên)

=> Góc C = góc CBD

=> Tam giác BCD cân tại D (dấu hiệu nhận biết)

=> BD = CD (định lí)  (2)

Từ (1), (2)

=> 2AD = CD

Mà AC = AD + CD

=> AD + 2AD = 3

=> 3AD = 3

=> AD = 1 (cm)

Vậy AD = 1cm.

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a+b+c=2020\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=2021\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=2020\cdot2021\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}=2020\cdot2021\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)+1+1+1=2020\cdot2021\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=2020\cdot2021-3=4082417\)

B C A D

Vì tam giác ABC vuông tại A có góc C = 30 độ

=> \(\hept{\begin{cases}AB=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\\BC=\frac{2AC}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\left(cm\right)\end{cases}}\)

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{\frac{3}{\sqrt{3}}}{\frac{6}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{DC}{AD}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{DC}{AD}+1=2+1\Leftrightarrow\frac{AC}{AD}=3\Rightarrow AD=\frac{AC}{3}=1\left(cm\right)\)

Vậy AD = 1 cm

Tam giác cần là tam giác có hai cạnh bên bằng nhau, hai góc bên bằng nhau.

Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau và đều bằng 60 độ.

Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông và cân tại đỉnh, có góc đỉnh bằng 90 độ, hai cạnh bên bằng nhau, hai góc bên bằng nhau và đều bằng 45 độ.

Hok tốt!