a ) 1/2 .4 + 1/4 . 6 + 1/6 . 8 + .........+ 1/98 . 100

= 1/2 - 1/4 + 1/4 - 1/6 + 1/6 - 1/8 + ........+ 1/98 - 1/100

= 1/2 - 1/100

= 49/100

b ) 1/1 . 5 + 1/5 . 9 + 1/9 . 13 + ......+ 1/201 . 205

= 1 - 1/5 + 1/5 - 1/9 + 1/9 - 1/13+ ..... + 1/201 - 1/205

= 1 - 1/205

= 204/205

c ) 6/3 . 5 + 6/5 . 7 + 6/7 . 9 + ...... + 6/97 . 99

=  6/3 - 6/5 + 6/5 - 6/7 + 6/7 -6/9 + ........ + 6/97 - 6/99

= 6/3 - 6/99

= 64/33

d ) 4/8 . 11 + 4/11 . 14 + 4/14 . 17 + .........  4/98 . 101

= 4/8 - 4/11 + 4/11 - 4/14 + 4/14 - 4/17 + .......+ 4/98 - 4/101

= 4/8 - 4/101

= 93/202

a) \(=\frac{1}{2}\times\left(\frac{2}{2\times4}+\frac{2}{4\times6}+....+\frac{2}{98\times100}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+....+\frac{1}{98}-\frac{1}{100}\right)\)

= \(\frac{1}{2}\times\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{100}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\times\frac{98}{200}=\frac{49}{200}\)

\(a.X-8=12\)

    \(X\)       \(=12+8\)

    \(X\)       \(=20\)

Vậy A = { 20 }

\(b.X+7=7\)

    \(X\)      \(=7-7\)

    \(X\)       \(=0\)

Vậy B = { 0 }

\(c.\)C={ 0;1;2;3;4;5;6;...}

d. Không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện trên

a ) A = { 20 } 

Tập hợp A có 1 phần tử

b ) B = { 0 }

Tập hợp B có 1 phần tử

c ) C = N

Tập hợp C có 1 phần tử

d ) D = O ( rổng ) 

Tập hợp D có 0 ( hoặc rổng ) phần tử

      Đây là toán nâng cao chuyên đề chia hết, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

         Bài 1: CM A = n² + n + 6 ⋮ 2 

+ TH1: Nếu n là số chẵn ta có: n = 2k (k \(\in\) N)

  Khi đó: A = (2k)² + 2k + 6 

              A = 4k² + 2k + 6

             A =  2.(2k² + k + 3)  ⋮ 2

+ TH2: Nếu n là số lẻ ta có: n²; n đều là số lẻ

         Suy ra n² + n là chẵn vì tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn

            ⇒  A = n² + n + 6 là số chẵn 

                A = n² + n + 6 ⋮ 2

+ Từ các lập luận trên ta có: A = n² + n + 6 ⋮ 2 \(\forall\) n \(\in\) N

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề tính chất chia hết của một tổng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp quy nạp toán học như sau:

Bài 2: CM:  A = n³ + 5n ⋮6 ∀ \(n\) \(\in\) N

          Với n = 1 ta có: A = 1³ + 1.5 

                A = 1 + 5 = 6 ⋮ 6

          Giả sử A đúng với n = k (k \(\in\) N)

          Khi đó ta có: A  = k³ + 5k ⋮ 6 \(\forall\) k \(\in\) N ⁽¹⁾

          Ta cần chứng minh A = n³ + 5n ⋮ 6 với n = k  + 1

          Tức là ta cần chứng minh: A = (k + 1)³ + 5.(k + 1) ⋮ 6

Thật vậy với n = k + 1 ta có: 

       A = (k  + 1)³ + 5(k + 1) 

      A = (k  +1).(k  + 1)(k + 1) + 5.(k  +1)

     A = (k² + k + k  +1).(k + 1) + 5k  +5

     A =  [k² + (k + k) + 1].(k + 1) + 5k + 5

    A = [k² + 2k + 1].(k + 1) + 5k + 5

   A = k³ + k² + 2k² + 2k + k  +1  +5k  +5

   A  = (k³ + 5k) + (k² + 2k²) + (2k + k) + (1 + 5) 

    A = (k³ + 5k) + 3k² + 3k + 6

   A = (k³ + 5k) + 3k(k +1) + 6

   k.(k  +1) là tích của hai số liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

 ⇒ 3.k.(k + 1) ⋮ 6 ⁽²⁾

     6 ⋮ 6 ⁽³⁾

Kết hợp (1); (2) và (3) ta có:

    A = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⋮ 6 ∀ k \(\in\) N

Vậy A = n³ + 5n ⋮ 6 \(\forall\) n \(\in\) N (đpcm) 

1/2 + 1/2 x 3 + 1/3 x 4 + ........+ 1/49 x 50

= 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 + ........ + 1/49 - 1/50

= 1/2 - 1/50

= 12/25

a ) 2 + 4 + 6 + ....... + 2 . n = 210

= ( 2n + 2 ) . n : 2 = 210

210 = 2 . 3 . 5 . 7 = 14 . 15 

=> n = 14

a) 2+4+6+8+....+2n = 210

2. ( 1+2+3+4+....+n)=210

1+2+3+4+...+n = 105

áp dụng công thức tính tổng dãy số ta có

(n-1):1+1    .    (n+1):2 = 105

n.(n+1) = 210

=> n = 14

Số học sinh trung bình chiếm là:

1 - (1/3 + 2/5) = 4/15 (số học sinh)

QĐMS : 1/3 = 5/15 ; 2/5 = 6/15 ; 4/15

6/15 lớn nhất nên số học sinh khá nhiều nhất

Đáp số : 4/15 số học sinh

Học sinh khá nhiếu nhất