a)   25 - y²= 8.(x -2009)²

Do 8.(x-2009)²​​​ không âm với mọi x nên 25 - y^2 không âm nên y^2 nhỏ hơn hoặc bằng 25

TH1: y = 0 thay vào phương trình thì x không thuộc Z (loại)

TH2: y = +-1 thay vào phương trình thì x không thuộc Z ( loại)

TH3: y = +-2  thay vào phương trình thì x không thuộc Z loại

chỉ thử đến y=+- 5 để thỏa mãn y² nhỏ hơn hoặc bằng 25

 Cuối cùng ta được y = +- 5 và x = 2009

b, x3.y=x.y3+1997x3.y=x.y3+1997

⇔x3.y−x.y3=1997⇔x3.y−x.y3=1997

Ta có: -1997 là số nguyên tố

-xy(x+y)(x-y) là hợp số

\(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2007}+\frac{1}{2008}+\frac{1}{2009}\)

\(2009A=\frac{2009}{2}+\frac{2009}{3}+\frac{2009}{4}+...+\frac{2009}{2007}+\frac{2009}{2008}+\frac{2009}{2009}\)

\(2009A=\left(1+\frac{2007}{2}\right)+\left(1+\frac{2006}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{2008}\right)+1\)

\(2009A=2018+\frac{2007}{2}+\frac{2006}{3}+...+\frac{2}{2007}+\frac{1}{2008}=B\)

\(\Leftrightarrow\frac{A}{B}=\frac{1}{2009}\)

Ta có 5²⁰¹⁴ - 5²⁰¹³ + 5²⁰¹² = 5²⁰¹²(5² - 5 + 1) = 5²⁰¹².21 = 5²⁰¹¹.5.21 = 5²⁰¹¹.105 \(⋮\)105 (đpcm)

A = | 2x - 2 | + | 2x - 2013 |

= | 2x - 2 | + | 2013 - 2x |

≥ | 2x - 2 + 2013 - 2x | = | 2011 | = 2011

Đẳng thức xảy ra <=> ( 2x - 2 )( 2013 - 2x ) ≥ 0 => 1 ≤ x ≤ 2013/2

Vậy ...

Ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\\\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\end{cases}}\Rightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y+3\right)^2\ge0\forall x;y\)

=> A = (x - 2)² + (y + 3)² - 5 \(\ge-5\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\y+3=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}}\)

Vậy Min A = -5 <=> x = 2 ; y = -3