a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔABC~ΔHBA

b: Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{MCD}\) chung

Do đó: ΔCMD~ΔCAB

=>\(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CD}{CB}\)

=>\(CM\cdot CB=CD\cdot CA\)

c: Ta có: ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(AH^2=6^2-3,6^2=4.8^2\)

=>AH=4,8(cm)

ΔBHA~ΔBAC

=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{HA}{AC}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(\dfrac{3.6}{6}=\dfrac{4.8}{AC}=\dfrac{6}{BC}\)

=>\(AC=6\cdot\dfrac{4.8}{3,6}=8\left(cm\right);BC=6\cdot\dfrac{6}{3.6}=10\left(cm\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot8=24\left(cm^2\right)\)

a) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có :

 <A = <H = 90 độ ( gt)

<B chung

=> ABC đồng dạng HBA (g.g)

a: Xét ΔCMD vuông tại M và ΔCAB vuông tại A có

\(\widehat{MCD}\) chung

Do đó: ΔCMD~ΔCAB

b: Ta có: ΔCAB vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

=>\(CM=\dfrac{3}{5}\cdot10=6\left(cm\right)\)

Ta có: ΔCMD~ΔCAB

=>\(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{MD}{AB}\)

=>\(\dfrac{6}{8}=\dfrac{CD}{10}=\dfrac{MD}{6}\)

=>\(MD=6\cdot\dfrac{6}{8}=4,5\left(cm\right);CD=6\cdot\dfrac{10}{8}=7,5\left(cm\right)\)

c: Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{MBI}\) chung

Do đó: ΔBMI~ΔBAC

=>\(\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BI}{BC}\)

=>\(BM\cdot BC=BI\cdot BA\)

d: Xét ΔCBD có

BA,DM là các đường cao

BA cắt DM tại I

Do đó: I là trực tâm của ΔCBD

=>CI\(\perp\)BD tại K

Xét ΔCMI vuông tại M và ΔCKB vuông tại K có

\(\widehat{MCI}\) chung

Do đó: ΔCMI~ΔCKB

=>\(\dfrac{CM}{CK}=\dfrac{CI}{CB}\)

=>\(CK\cdot CI=CM\cdot CB\)

\(BI\cdot BA+CI\cdot CK\)

\(=BM\cdot BC+CM\cdot CB\)

\(=BC\left(BM+CM\right)=BC^2\) không phụ thuộc vào vị trí điểm M

a: Ta có: H đối xứng D qua AB

=>AH=AD và BH=BD

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc DAH

=>\(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: H đối xứng E qua AC

=>AE=AH và CH=CE

Xét ΔAEC và ΔAHC có

AH=AE
EC=HC

AC chung

Do đó: ΔAEC=ΔAHC

=>\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{DAE}\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

Ta có: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^0\)

=>BD\(\perp\)DE tại D

TA có: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)ED tại D

Ta có: BD\(\perp\)DE

CE\(\perp\)ED

Do đó: BD//CE

c: Ta có: AH=AD

AE=AH

Do đó: AE=AD

=>A là trung điểm của ED

Xét ΔHED có

HA là đường trung tuyến

\(HA=\dfrac{ED}{2}\)

Do đó: ΔHED vuông tại H

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

mà HB=DB và HC=CE

nên \(DB\cdot CE=AH^2\)

=>\(DB\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\dfrac{1}{4}DE^2\)

a:

Ta có: ΔBCA vuông tại B

=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)

=>\(AC^2=15^2+20^2=625=25^2\)

=>AC=25(cm)

Xét ΔCHB vuông tại H và ΔCBA vuông tại B có

\(\widehat{HCB}\) chung

Do đó: ΔCHB~ΔCBA

=>\(k=\dfrac{CB}{CA}=\dfrac{20}{25}=\dfrac{4}{5}\)

b: 

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔABC vuông tại B có

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAHB~ΔABC

=>\(\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AH\cdot AC=AB^2\)

c: Ta có: ΔAHB~ΔABC

=>\(\dfrac{HB}{BC}=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(\dfrac{HB}{20}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(HB=\dfrac{3}{5}\cdot20=12\left(cm\right)\)

a: Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là \(\dfrac{120}{x}\left(cây\right)\)

b: Số đoàn viên thực tế là x+3(người)

Số cây mỗi đoàn viên trồng trong thực tế là \(\dfrac{120}{x+3}\left(cây\right)\)

c: Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn theo thực tế là:

\(\dfrac{120}{x}-\dfrac{120}{x+3}=\dfrac{120\left(x+3\right)-120x}{x\left(x+3\right)}=\dfrac{360}{x\left(x+3\right)}\left(cây\right)\)

a: \(Q=\dfrac{x-1}{x+2}+\dfrac{5x-2}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x-1}{x+2}+\dfrac{5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2-3x+2+5x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{x^2+2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{x}{x-2}\)

b: Sửa đề: Tính giá trị của Q khi x=-3

Thay x=-3 vào Q, ta được:

\(Q=\dfrac{-3}{-3-2}=\dfrac{-3}{-5}=\dfrac{3}{5}\)

c: Q=1

=>\(\dfrac{x}{x-2}=1\)

=>x=x-2

=>0=-2(vô lý)

a: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(A=\dfrac{x}{2x-4}-\dfrac{x-2}{2x+4}+\dfrac{8}{x^2-4}\)

\(=\dfrac{x}{2\left(x-2\right)}-\dfrac{x-2}{2\left(x+2\right)}+\dfrac{8}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x\left(x+2\right)-\left(x-2\right)^2+16}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{x^2+2x-x^2+4x-4+16}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{6x+12}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{6\left(x+2\right)}{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{3}{x-2}\)

b: Thay x=-4 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3}{-4-2}=\dfrac{3}{-6}=-\dfrac{1}{2}\)

c: Để A là số nguyên thì \(3⋮x-2\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;5;-1\right\}\)

a: \(P=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{2x+4}{4-x^2}\right)\cdot\left(1+\dfrac{5}{x-3}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-2}{x+2}+\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{2x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\right)\cdot\dfrac{x-3+5}{x-3}\)

\(=\dfrac{\left(x-2\right)^2+x\left(x+2\right)-2x-4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\cdot\dfrac{x+2}{x-3}\)

\(=\dfrac{x^2-4x+4+x^2+2x-2x-4}{\left(x-2\right)}\cdot\dfrac{1}{x-3}\)

\(=\dfrac{2x^2-4x}{\left(x-2\right)\cdot\left(x-3\right)}=\dfrac{2x}{x-3}\)

b: Thay x=-1 vào P, ta được:

\(P=\dfrac{2\cdot\left(-1\right)}{-1-3}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}\)

c: \(P=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{2x}{x-3}=\dfrac{2}{3}\)

=>\(\dfrac{x}{x-3}=\dfrac{1}{3}\)

=>3x=x-3

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\left(nhận\right)\)

d: Để P là số tự nhiên thì \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x}{x-3}>=0\\2x⋮x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{x-3}>=0\\2x-6+6⋮x-3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\\x-3\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x>3\\x< =0\end{matrix}\right.\\x\in\left\{4;2;5;1;6;0;9;-3\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(x\in\left\{4;5;6;0;9;-3\right\}\)

a: \(D=\dfrac{6x}{4x^2-9}-\dfrac{x}{3-2x}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}+\dfrac{x}{2x-3}+\dfrac{x}{2x+3}-1\)

\(=\dfrac{6x+x\left(2x+3\right)+x\left(2x-3\right)-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+4x^2-4x^2+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}\)

\(=\dfrac{6x+9}{\left(2x-3\right)\left(2x+3\right)}=\dfrac{3}{2x-3}\)

b: \(D=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(\dfrac{3}{2x-3}=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(2x-3=-3\cdot2=-6\)

=>2x=-3

=>\(x=-\dfrac{3}{2}\)(loại)

c: Để D là số nguyên thì \(3⋮2x-3\)

=>\(2x-3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(2x\in\left\{4;2;6;0\right\}\)

=>\(x\in\left\{1;2;3;0\right\}\)