1) Ta có: \(BC^2+AC^2=\left(a\sqrt{3}\right)^2+\left(a\sqrt{2}\right)^2=3a^2+2a^2=5a^2\)(1)

\(AB^2=\left(a\sqrt{5}\right)^2=5a^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BC^2+AC^2=AB^2\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại C

2) Các tỉ số lượng giác của góc B

\(sinB=\frac{AC}{AB}\)

\(cosB=\frac{BC}{AB}\)

\(tanB=\frac{AC}{BC}\)

\(cotB=\frac{BC}{AC}\)

Suy ra các tỉ số lượng giác của góc A là:

\(sinA=\frac{BC}{AB}\)

\(cosA=\frac{BC}{AB}\)

\(tanA=\frac{BC}{AC}\)

\(cotA=\frac{AC}{BC}\)

câu 2. Em chưa tính các tỉ số @ctk_new@

Vì a,b > 0 nên \(\frac{a+b}{\sqrt{a^2+4}}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+4}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2a^2+b^2}\le\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{3}{2}\le0\Leftrightarrow\frac{2a^2+4ab+2b^2-6a^2-3b^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-4a^2+4ab-b^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\Leftrightarrow\frac{-\left(2a-b\right)^2}{2\left(2a^2+b^2\right)}\le0\)(Đúng)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=4\\2a-b=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2}{\sqrt{5}}\\b=\frac{4}{\sqrt{5}}\end{cases}}\)

Hướng dẫn:

Ta có \(\left(a+b\right)^2=\left(\sqrt{2}a\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+b\cdot1\right)^2\le\left(2a^2+b^2\right)\cdot\left(\frac{1}{2}+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\le\left(a^2+4\right)\cdot\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a^2+4}}\le\sqrt{\frac{3}{2}}\)

\(\left(x+y\right)^2+\frac{x+y}{2}=\left(x+y\right)\left(x+\frac{1}{4}+y+\frac{1}{4}\right)\ge2\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\ge2x\sqrt{y}+2y\sqrt{x}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)