Lời giải:

$2xy=x+y$

$\Rightarrow 2xy-x-y=0$

$\Rightarrow x(2y-1)-y=0$

$\Rightarrow 2x(2y-1)-2y=0$

$\Rightarrow 2x(2y-1)-(2y-1)=1$

$\Rightarrow (2x-1)(2y-1)=1$

Do $x,y$ nguyên nên $2x-1,2y-1$ nguyên. Mà tích của chúng bằng $1$ nên ta xét các TH sau:

TH1: $2x-1=1, 2y-1=1\Rightarrow x=y=1$

TH2: $2x-1=-1, 2y-1=-1\Rightarrow x=y=0$

Vậy........

Xét ΔBAM vuông tại A và ΔBEM vuông tại E có

BM chung

MA=ME

Do đó: ΔBAM=ΔBEM

=>BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: MA=ME

=>M nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1),(2) suy ra BM là đường trung trực của AE

=>BM\(\perp\)AE

a: A(x)+B(x)

\(=7x^4-3x^3+2x^2+x+7x^4+6x^3-2x^2+4x-1\)

\(=14x^3+3x^3+5x-1\)

b: A(x)-B(x)

\(=7x^4-3x^3+2x^2+x-7x^4-6x^3+2x^2-4x+1\)

\(=-9x^3+4x^2-3x+1\)

a) A(x) + B(x) = (7x⁴ - 3x³ + 2x² + x) + (7x⁴ + 6x³ - 2x² + 4x - 1)

= 7x⁴ - 3x³ + 2x² + x + 7x⁴ + 6x³ - 2x² + 4x - 1

= (7x⁴ + 7x⁴) + (-3x³ + 6x³) + (2x² - 2x²) + (x + 4x) - 1

= 14x⁴ + 3x³ + 5x - 1

b) A(x) - B(x) = (7x⁴ - 3x³ + 2x² + x) - (7x⁴ + 6x³ - 2x² + 4x - 1)

= 7x⁴ - 3x³ + 2x² + x - 7x⁴ - 6x³ + 2x² - 4x + 1

= (7x⁴ - 7x⁴) + (-3x³ - 6x³) + (2x² + 2x²) + (x - 4x) + 1

= -9x³ + 4x² - 3x + 1

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

AB=AC

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB=ΔAFC

b: Sửa đề: ΔHBC cân tại H

Xét ΔFBC vuông tại F và ΔECB vuông tại E có

BC chung

\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)

Do đó; ΔFBC=ΔECB

=>\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)

=>\(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)

=>ΔHBC cân tại H

còn đoạn sau của câu b mình chưa thêm vào là từ đó so sánh HB và HE nếu làm được làm giúp mình luôn với cảm ơn ạ❤️

a: Xét ΔBAH vuông tại A và ΔBEH vuông tại E có

BH chung

\(\widehat{ABH}=\widehat{EBH}\)

Do đó: ΔBAH=ΔBEH

=>BA=BE

=>ΔBAE cân tại B

b: Xét ΔBFC có

FE,CA là các đường cao

FE cắt CA tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBFC

=>BH\(\perp\)FC tại K

=>HK\(\perp\)FC

c: Xét ΔMAQ và ΔMFK có

MA=MF

\(\widehat{AMQ}=\widehat{FMK}\)(hai góc đối đỉnh)

MQ=MK

Do đó: ΔMAQ=ΔMFK

=>\(\widehat{MAQ}=\widehat{MFK}\)

=>AQ//FK

=>AQ//FC

Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

BE=BA

\(\widehat{EBF}\) chung

Do đó: ΔBEF=ΔBAC

=>BF=BC

Xét ΔBFC có \(\dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BE}{BC}\)

nên AE//FC

mà QA//FC

mà AE và AQ có điểm chung là A

nên A,E,Q thẳng hàng

Lời giải:

a.

$(4x^4+3x^3):(-x^3)+(15x^2+6x):3x=0$

$\Rightarrow -4x-3+(5x+2)=0$

$\Rightarrow -4x-3+5x+2=0$

$\Rightarrow x-1=0$

$\Rightarrow x=1$
b.

$(x^2-\frac{1}{2}x):(2x)-(3x-1)^2:(3x-1)=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{4}-(3x-1)=0$

$\Rightarrow \frac{x}{2}-\frac{1}{4}-3x+1=0$

$\Rightarrow \frac{-5}{2}x+\frac{3}{4}=0$

$\Rightarrow \frac{-5}{2}x=\frac{-3}{4}$

$\Rightarrow x=\frac{3}{10}$

a: \(\dfrac{4x^4+3x^3}{-x^3}+\dfrac{15x^2+6x}{3x}=0\)

=>\(-4x-3+5x+2=0\)

=>x-1=0

=>x=1

b: \(\left(x^2-\dfrac{1}{2}x\right):2x-\left(3x-1\right)^2:\left(3x-1\right)=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}-\left(3x-1\right)=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}-3x+1=0\)

=>\(-\dfrac{5}{2}x=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}\)

=>\(x=\dfrac{3}{4}:\dfrac{5}{2}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}\)

a: Sửa đề: Cho tam giác ABC vuông tại A

Xét ΔCAB vuông tại A và ΔCAD vuông tại A có

CA chung

AB=AD

Do đó: ΔCAB=ΔCAD

=>CB=CD

=>ΔCBD cân tại C

b: Xét ΔCDB có

CA,DK là các đường trung tuyến

CA cắt DK tại M

Do đó: M là trọng tâm của ΔCDB

=>\(CM=\dfrac{2}{3}CA=\dfrac{2}{3}\cdot21=14\left(cm\right)\)

c: Ta có: NI\(\perp\)AC

DB\(\perp\)AC

Do đó: NI//DB

Xét ΔCDA có

N là trung điểm của CA

NI//DA

Do đó: I là trung điểm của CD

Xét ΔCDB có

M là trọng tâm

I là trung điểm của CD

Do đó: B,M,I thẳng hàng

Bài 4

a) Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ M là trung điểm của BC

⇒ BM = CM

Xét ∆AMC và ∆DMB có:

AM = DM (gt)

∠AMC = ∠DMB (đối đỉnh)

CM = BM (cmt)

⇒ ∆AMC = ∆DMB (c-g-c)

⇒ ∠ACM = ∠DBM (hai góc tương ứng)

Mà ∠ACM và ∠DBM là hai góc so le trong

⇒ AC // BD

Mà AC ⊥ AB (do ∆ABC vuông tại A)

⇒ BD ⊥ AB

⇒ ∠ABD = 90⁰

b) Do ∆AMC = ∆DMB (cmt)

⇒ AC = DB (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆BAD có:

AB là cạnh chung

AC = BD (cmt)

⇒ ∆ABC = ∆BAD (hai cạnh góc vuông)

c) Do ∆ABC = ∆BAD (cmt)

⇒ BC = AD (hai cạnh tương ứng)

Lại có:

AM = MD (gt)

⇒ M là trung điểm của AD

⇒ AM = AD : 2

Mà AD = BC (cmt)

⇒ AM = BC : 2

Bài 1

a) Do BN và CP là hai đường trung tuyến của ABC (gt)

G là giao điểm của BN và CP (gt)

⇒ G là trọng tâm của ABC

⇒ AG là đường trung tuyến của ABC

⇒ AM là đường trung tuyến của ABC

b) Do ABC cân tại A (gt)

⇒ AB = AC

Do AM là đường trung tuyến của ∆ABC (cmt)

⇒ M là trung điểm của BC

⇒ BM = CM

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (cmt)

BM = CM (cmt)

AM là cạnh chung

⇒ ∆AMB = ∆AMC (c-c-c)

c) Do ∆AMB = ∆AMC (cmt)

⇒ ∠BAM = ∠CAM (hai góc tương ứng)

⇒ AM là tia phân giác của ∠BAC

d) Do AB = AC (cmt)

⇒ A nằm trên đường trung trực của BC (1)

Do BM = CM (cmt)

⇒ M nằm trên đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AM là đường trung trực của BC

e) Do ∆ABC cân tại A (gt)

⇒ ∠ABC = ∠ACB

⇒ ∠PBC = ∠NCB

Do CP là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ P là trung điểm của AB

⇒ BP = AB : 2

Do BN là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ N là trung điểm của AC

⇒ CN = AC : 2

Mà AB = AC

⇒ BP = CN

Xét ∆PBC và ∆NCB có:

BP = CN (cmt)

∠PBC = ∠NCB (cmt)

BC là cạnh chung

⇒ ∆PBC = ∆NCB (c-g-c)

⇒ CP = BN (hai cạnh tương ứng)

Hay BN = CP