Cho a,b,c không âm thỏa mãn \(a+b+c=3\)
a) Chứng minh rằng \(\sqrt{a^2+3a+5}\ge\frac{5a+13}{6}\)
b) Tìm GTNN của \(\sqrt{a^2+3ab+5b^2}+\sqrt{b^2+3bc+5c^2}+\sqrt{c^2+3ca+5a^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NB
0
HT
0
HT
0
LC
1
24 tháng 10 2019
3√3x2−5x+1+3√x2−2=√3(x2−x+1)+√x2−3x+43x2−5x+13+x2−23=3(x2−x+1)+x2−3x+4
,3√x2−1+x=√x3−2x2−13+x=x3−2
2x2(3−4√9−2x)2=x−9
\(\sqrt{a^2+3a+5}\ge\frac{5a+13}{6}\Leftrightarrow a^2+3a+5\ge\frac{25a^2+130a+169}{36}\)
\(\Leftrightarrow36a^2+108a+180\ge25a^2+130a+169\Leftrightarrow11a^2-22a+11\ge0\)
\(\Leftrightarrow11\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\inℝ\)
Dấu = xảy ra khi a=1
Ta có:
\(\sqrt{a^2+3ab+5b^2}=\sqrt{\left(\frac{25a^2}{36}+\frac{130ab}{36}+\frac{169}{36}\right)+\frac{11}{36}\left(a^2-2ab+b^2\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{5a}{6}+\frac{13b}{6}\right)^2+\frac{11}{36}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5a+13b}{6}\)
Tương tự:\(\sqrt{b^2+3bc+5c^2}\ge\frac{5b+13c}{6};\sqrt{c^2+3ca+5a^2}\ge\frac{5c+13a}{6}\)
Khi đó:\(P=\sqrt{a^2+3ab+5b^2}+\sqrt{b^2+3bc+5c^2}+\sqrt{c^2+3ac+5a^2}\)
\(\ge\frac{5a+13b+5b+13c+5c+13a}{6}=\frac{18\left(a+b+c\right)}{6}=3\left(a+b+c\right)=9\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)