a)    Số tiền chị có trong ngân hàng sau tháng 1 là:

\({P_1} = 100 + 100.0,5\%  + 6 = 106,5\) (triệu đồng)

b)    Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

\({P_2} = 106,5 + 106,5.0,5\%  + 6 = 113,0325\) (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

\({P_1} = 113,0325 + 113,0325.0,5\%  + 6 \approx 119,6\) (triệu đồng)

c)    Dự đoán công thức của \({P_n}\): \({P_n} = 100.{\left( {1 + 0,5\% } \right)^n}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

=> Luôn đúng

a)    Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + 2 \ge 3\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Dãy số bị chặn dưới

b)    Ta có:

\(\begin{array}{l} - 2n \ge  - 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow  - 2n + 1 \ge  - 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn dưới

c)    Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^2} \ge 1\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow {n^2} + n \ge 2\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\ \Leftrightarrow 0 \le \frac{1}{{{n^2} + n}} \le \frac{1}{2}\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 Dãy số bị chặn

a)    Xét:

  \(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1 - 3}}{{n + 1 + 2}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\\ = \frac{{n - 2}}{{n + 3}} - \frac{{n - 3}}{{n + 2}} = \frac{{{n^2} - 4 - {n^2} + 9}}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)  

=> Dãy số là dãy số tăng

b)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{{2.2}^n}.n!.\left( {n + 1} \right)}} - \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\\ = \frac{{{3^{n + 1}}}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} - \frac{{{3^n}.2\left( {n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}\\ = \frac{{{3^n}\left( {3 - 2n - 2} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} = \frac{{{3^n}\left( { - 2n + 1} \right)}}{{{2^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}} < 0\,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

 => Dãy số là dãy số giảm

c)    Xét:

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {\left( { - 1} \right)^n}.\left( {{2^n} + 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left[ {\left( { - 1} \right).\left( {{2^{n + 1}} + 1} \right) - {2^n} - 1} \right]\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {2^{n + 1}} - 1 - {2^n} - 1} \right)\\ = {\left( { - 1} \right)^n}\left( { - {{3.2}^n} - 2} \right)\end{array}\)

=> Dãy số không tăng không giảm.

a)    Ta có: \({u_1} = 1,{u_2} = 2,{u_3} = 3\)

Dự đoán \({u_n} = n\)

b)    Ta có: \(\begin{array}{l}{v_1} = 1\\{v_2} = 8 = {2^3}\\{v_3} = 27 = {3^3}\\{v_4} = 64 = {4^3}\end{array}\)

Dự đoán: \({v_n} = {n^3}\)

a)    Năm số hạng đầu của dãy số là: 3; 9; 19; 33; 51

b)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \( - 1;\frac{1}{3}; - \frac{1}{5};\frac{1}{7}; - \frac{1}{9}\)

c)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;2;\frac{8}{3};4;\frac{{32}}{5}\)

d)    Năm số hạng đầu của dãy số là: \(2;\frac{9}{4};\frac{{64}}{{27}};\frac{{625}}{{256}};\frac{{7776}}{{3125}}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2u_2-3u_4+4u_6=-20\\S_7=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(u_1+d\right)-3\left(u_1+3d\right)+4\left(u_1+5d\right)=-20\\7\cdot\dfrac{\left[2u_1+6d\right]}{2}=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2u_1+2d-3u_1-9d+4u_1+20d=-20\\u_1+3d=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3u_1+13d=-20\\u_1+3d=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3u_1+13d=-20\\3u_1+9d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}22d=-20\\u_1=-3d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}d=-\dfrac{10}{11}\\u_1=-3\cdot\dfrac{-10}{11}=\dfrac{30}{11}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2} + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{n^2} + 2}}} \right) < \frac{1}{2}\).

Ta lại có: \[{u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} + 4}} > 0\]

Do đó \(0 < {u_n} < \frac{1}{2}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

\(\begin{array}{l}{u_n} \le 2 \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{n} \le 2\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{n + 1 - 2n}}{n} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{ - n + 1}}{n} \le 0\\Do\,\,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Khẳng định trên là đúng

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}\)

Xét hiệu \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{{3^{n + 1}}}} - \frac{1}{{{3^n}}} = - \frac{2}{3}.\frac{1}{{{3^n}}} < 0\)

Suy ra \(u_{n+1}< u_n\).

Vậy dãy số giảm.