1.

\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{x+7}}\right):\dfrac{5}{\sqrt{x}+7}=\dfrac{5}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}+7\right)}.\dfrac{\sqrt{x}+7}{5}\)

\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

2.

\(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2x-2}\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right).\dfrac{2\left(x-1\right)}{2\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{-4}{2\sqrt{x}+1}\)

b.

Để \(P=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{-4}{2\sqrt{x}+1}=-\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}+1=8\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{7}{2}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{49}{4}\)

c.

Để \(P< 0\Rightarrow\dfrac{-4}{2\sqrt{x}+1}< 0\Rightarrow2\sqrt{x}+1>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}>-\dfrac{1}{2}\) (luôn đúng)

Vậy với \(x\ge0;x\ne1\) thì P âm

đề đâu bạn

Do \(ac< 0\) (đối với cả 2 pt) nên 2 pt đã cho đều có 2 nghiệm pb trái dấu

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\left(m+2\right)\\x_3x_4=-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x_1x_2+x_3x_4=-\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow x_1x_3+x_2x_4=x_1x_2+x_3x_4\)

\(\Rightarrow x_1\left(x_3-x_2\right)-x_4\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_4\right)\left(x_3-x_2\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=x_4\\x_2=x_3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Hai pt đã cho có ít nhất 1 nghiệm chung. Gọi nghiệm chung đó là \(x_0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\\x_0^2+\left(m+2\right)x_0-2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x_0^2-\left(m+2\right)x_0-1=0\left(1\right)\\2x_0^2+2\left(m+2\right)x_0-4=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ vế (2) cho (1)

\(\Rightarrow3\left(m+2\right)x_0-3=0\Rightarrow x_0=\dfrac{1}{m+2}\) (với \(x\ne-2\))

Thế vào (1)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{\left(m+2\right)^2}-2=0\Rightarrow\left(m+2\right)^2=1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

a: \(P=\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\dfrac{2\sqrt{x}+1}{2x-2}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\cdot\dfrac{2\left(x-1\right)}{2\sqrt{x}+1}\)

\(=\dfrac{-2\cdot2}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{-4}{2\sqrt{x}+1}\)

b: \(P=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{-4}{2\sqrt{x}+1}=\dfrac{-1}{2}\)

=>\(2\sqrt{x}+1=8\)

=>\(2\sqrt{x}=7\)

=>\(\sqrt{x}=\dfrac{7}{2}\)

=>\(x=\dfrac{49}{4}\left(nhận\right)\)

c: Để P<0 thì \(-\dfrac{4}{2\sqrt{x}+1}< 0\)

=>\(2\sqrt{x}+1>0\)(luôn đúng với mọi x thỏa mãn ĐKXĐ)

Bài 1:

\(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+7}\right):\dfrac{5}{\sqrt{x}+7}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+7-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+7\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+7}{5}\)

\(=\dfrac{5}{5\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Gọi số sản phẩm ban đầu nhóm công nhân dự định làm trong 1 ngày là x(sản phẩm)

(ĐK: \(x\in Z^+\))

Số ngày ban đầu dự kiến sẽ hoàn thành là \(\dfrac{500}{x}\left(ngày\right)\)

Sau 4 ngày đầu thì số sản phẩm nhóm công nhân làm được là 4x(sản phẩm)

=>Số sản phẩm còn lại cần làm là 500-4x(sản phẩm)

Thời gian hoàn thành phần còn lại là: \(\dfrac{500-4x}{x+10}\left(ngày\right)\)

Theo đề, ta có phương trình:

\(\dfrac{500-4x}{x+10}+4=\dfrac{500}{x}-1\)

=>\(\dfrac{500-4x}{x+10}+5=\dfrac{500}{x}\)

=>\(\dfrac{500-4x+5x+50}{x+10}=\dfrac{500}{x}\)

=>\(\dfrac{x+550}{x+10}=\dfrac{500}{x}\)

=>\(x\left(x+550\right)=500\left(x+10\right)\)

=>\(x^2+550x-500x-5000=0\)

=>\(x^2+50x-5000=0\)

=>(x+100)(x-50)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-100\left(loại\right)\\x=50\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: Số sản phẩm dự kiến làm trong 1 ngày là 50 sản phẩm

a) ∆' = (-m)² - (2m - 1)

= m² - 2m + 1

= (m - 1)² ≥ 0 với mọi m ∈ R

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m ∈ R

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = 2m

x₁x₂ = 2m - 1

(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = -4

(2m)² - 4(2m - 1) = -4

4m² - 8m + 4 + 4 = 0

4m² - 8m + 8 = 0 (*)

∆' = (-4)² - 4.8 = -16 < 0

⇒ (*) vô nghiệm

Vậy không tìm được m thỏa mãn (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = -4

                          Giải

Gọi số ngày mà tổ đó phải hoàn thành theo kế hoạch là: \(x\) (ngày)

Điều kiện: \(x\) \(\in\) N

Số ngày thực tế đội đó hoàn thành là: \(x\) - 2 (ngày)

Số áo mỗi ngày đội đó làm được theo kế hoạch là: \(\dfrac{1200}{x}\) (chiếc áo)

Số áo mỗi ngày mà đội đó làm được trên thực tế là: \(\dfrac{1200}{x-2}\) (chiếc áo)

Theo bài ra ta có phương trình: 

               \(\dfrac{1200}{x-2}\) - \(\dfrac{1200}{x}\) = 20

                \(\dfrac{60}{x-2}\) - \(\dfrac{60}{x}\) = 1

                  60\(x\) - 60\(x\) + 120 = \(x^2\) - 2\(x\) 

                  \(x^2\) - 2\(x\) + 1 = 121

                   (\(x\) - 1)² = 11²

                \(\left[{}\begin{matrix}x-1=11\\x-1=-11\end{matrix}\right.\)

                \(\left[{}\begin{matrix}x=12\\x=-10\end{matrix}\right.\)

Vì \(x\) > 0 nên \(x\) = 12

Kêt luận số ngày mà đội đó phải hoàn thành theo kế hoạch là 12 ngày. 

BD là tiếp tuyến (C) nên \(\widehat{BDC}=90^0\)

K là trung điểm EF nên \(\widehat{BKC}=90^0\)

\(\Rightarrow D;K\) cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông nên BDKC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DKB}=\widehat{DCB}\)

Mà \(\widehat{DCB}=\dfrac{1}{2}\widehat{DCA}\) ; \(\widehat{DAB}=\dfrac{1}{2}\widehat{DCA}\) \(\Rightarrow\widehat{DKB}=\widehat{DAB}\)

Lại có EH song song AB (gt) \(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{DHE}\) (đồng vị)

\(\Rightarrow\widehat{DKB}=\widehat{DHE}\)

2 góc nói trên cùng nằm ở nửa mp bờ EH và cùng chắn EH \(\Rightarrow DEHK\) nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{HDE}=\widehat{HKE}\)

Mà \(\widehat{HDE}=\widehat{AFE}\) (cùng chắn AE của (C))

\(\Rightarrow\widehat{HKE}=\widehat{AFE}\Rightarrow HK||AF\) (hai góc đồng vị bằng nhau)

Gọi M là giao điểm AF và EH. Trong tam giác EMF, có HK qua trung điểm cạnh bên EF và song song cạnh đáy AF

\(\Rightarrow HK\) là đường trung bình tam giacs EMF \(\Rightarrow H\) là trung điểm EM

\(\Rightarrow EH=HM\)

Xét 2 tam giác HED và HMA có:

\(\left\{{}\begin{matrix}HE=HM\left(cmt\right)\\\widehat{EHD}=\widehat{MHA}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\HA=HD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\Delta HED=\Delta HMA\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{HDE}=\widehat{HAM}\Rightarrow ED||AF\) (hai góc slt bằng nhau)

\(\Rightarrow AF||ED||HK\)