Gợi ý : Áp dụng công thức : \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)( tự làm b;c nhé ) 

Tương tự : \(A=100^2-99^2+98^2-97^2+...+2^2-1^2\)

\(=\left(100-99\right)\left(100+99\right)+\left(98-97\right)\left(98+97\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)

\(=1+2+3+4+...+100\)

\(=\frac{100\left(100+1\right)}{2}=5050\)

a. A = 100² - 99²+ 98² - 97² + ... + 2² - 1²

       =(100² - 99²)+ (98² - 97²) + ... + (2² - 1²)

      =(100-99)(100+99)+...+(2-1)(2+1)

      =100+99+...+2+1

      =(100+1).100:1

      =5050

b,B = 3(2² + 1) (2⁴ + 1) ... (2⁶⁴ + 1) + 1²

=(2²−1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)....(2⁶⁴+1)+1

......

=(2⁶⁴-1)(264+1)+1

=2¹²⁸−1+1=2¹²⁸

c,C = (a + b + c)² + (a + b - c)² - 2(a + b)²

      =a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc+a²+b²+c²+2ab−2ac−2bc-2(a²+2ab+b²)

     =2c²

Thiếu giả thiết 

nếu x/a=y/b=z/cthì...

Gọi ba số cần tìm là x, x+1, x+2 ( x thuộc N )

Theo đề bài ta có : x( x + 1 ) + 50 = ( x + 1 )( x + 2 )

                        <=> x² + x + 50 = x² + 3x + 2

                        <=> x² + x - x² - 3x = 2 - 50

                        <=> -2x = -48

                        <=> x = 24 ( tmđk )

=> Ba số cần tìm là 24 , 25 , 26 

Gọi 3 số tự nhiên cần tìm là: a ; a+1 ; a+2 \(\left(a\inℕ\right)\)

Bài ra, ta có: 

\(\left(a+1\right)\left(a+2\right)-a\left(a+1\right)=50\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+a+2-a^2-a=50\)

\(\Leftrightarrow2a+2=50\)

\(\Leftrightarrow2a=48\)

\(\Leftrightarrow a=24\)        \(\)( thỏa mãn ĐK)

Hai số tiếp theo là: 24+1=25 

                               24+2=26

Vậy ba số tự nhiên cần tìm là : 24,25,26

a) VP = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ - 3a²b - 3ab² = a³ + b³ ( đpcm )

b) VP = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ + 3a²b - 3ab² = a³ - b³ ( đpcm )

Áp dụng

a³ - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ + 3a²b - 3ab² 

            = ( a - b )³ + 3ab( a - b )

Thế ab = 8 ; a - b = 12 ta được

( 12 )³ + 3.8.12 = 1728 + 288 = 2016

Được cái khai triển ... 

a,  \(a^3+b^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\)

\(VP=a^3+3a^2b+3b^2a+b^3-3a^2b-3ab^2\)

Ta có : \(VP=a^3+b^3\left(đpcm\right)\)

b, \(a^3+b^3=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

Cách khác : \(\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

Ta có đpcm 

Ta có : \(a^3-b^3=\left(a-b\right)^3+3ab\left(a-b\right)\)

Thay ab = 8 và a - b = 12 :

\(12^3+3.8.12=2016\)

\(\frac{4-x}{x^3+2x}-\frac{x+5}{x^3-x^2+2x-2}\)( ĐKXĐ : \(x\ne1\))

\(=\frac{4-x}{x\left(x^2+2\right)}-\frac{x+5}{x^2\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{4-x}{x\left(x^2+2\right)}-\frac{x+5}{\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{\left(4-x\right)\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}-\frac{x\left(x+5\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-x^2+5x-4}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}-\frac{x^2+5x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-x^2+5x-4-\left(x^2+5x\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-x^2+5x-4-x^2-5x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-2x^2-4}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-2\left(x^2+2\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+2\right)}\)

\(=\frac{-2}{x\left(x-1\right)}=\frac{-2}{x\left(x-1\right)}\)

Đang đánh máy thì bấm gửi -..-

Ta có : \(x=7\Rightarrow x+1=8\)

\(B=x^{15}-\left(x+1\right)x^{14}+\left(x+1\right)^{13}-\left(x+1\right)x^{12}+...+\left(x+1\right)x-x+2\)

\(=x^{15}-x^{15}-x^{14}+x^{14}+x^{13}-x^{13}-x^{12}+...+x^2+x-x+2=2\)

Vì x=8=>x+1=8 thay vào B ,Ta có:

B = x¹⁵ - 8x¹⁴ + 8x¹³ - 8x¹² + ... - 8x² + 8x – 5 với x = 7

=x¹⁵-(x+1)x¹⁴ +(x+1)x¹³-(x+1)x¹²+...-(x+1)x²+(x+1)x-5

=x¹⁵-x¹⁵-x¹⁴+x¹⁴+...-x³-x²+x²+x-5

=x-5

Thay x=7 ,ta đc:

7-5=2

Vậy B=2

\(\frac{y}{xy-5x^2}-\frac{15x-25x}{y^2-25x^2}\)

ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x,y\ne0\\y\ne\pm5x\end{cases}}\)

\(=\frac{y}{x\left(y-5x\right)}-\frac{-10x}{\left(y-5x\right)\left(y+5x\right)}\)

\(=\frac{y\left(y+5x\right)}{x\left(y-5x\right)\left(y+5x\right)}-\frac{-10xx}{x\left(y-5x\right)\left(y+5x\right)}\)

\(=\frac{y^2+5xy+10x^2}{x\left(y-5x\right)\left(y+5x\right)}\)

\(\frac{y}{xy-5x^2}-\frac{-10x}{y^2-25x^2}=\frac{y^3-25x^2y}{\left(xy-5x^2\right)\left(y^2-25x^2\right)}-\frac{-10x^2y+50x^3}{\left(y^2-25x^2\right)\left(xy-5x^2\right)}\)

\(=\frac{y^3-25x^2y+10x^2y-50x^3}{\left(xy-5x^2\right)\left(y^2-25x^2\right)}=\frac{y^3-15x^2y-50x^3}{\left(xy-5x^2\right)\left(y^2-25x^2\right)}=\frac{y^3-50x^3}{x\left(y-5x\right)^2\left(y+5x\right)}\)

\(B=\left(2x+6\right)\left(4x^2-12x+36\right)-8x^2+10\)

\(=\left[\left(2x\right)^3+6^3\right]-8x^2+10\)

\(=\left[8x^3+216\right]-8x^2+10\)

\(=8x^3+216-8x^2+10\)

\(=\left(8x^3-8x^2\right)+\left(216+10\right)\)

\(=8x^2\left(x-1\right)+226\)

mà \(8x^2\left(x-1\right)+226\ne x\)

\(\Rightarrow\)biểu thức không phụ thuộc vào biến x

Sửa đề \(8x^2\)   thành \(8x^3\)

\(B=8x^3-24x^2+72x+24x^2-72x+216-8x^3+10\)   

\(=226\)     

Vậy B không phụ thuộc vào biến x 

                                                              Bài giải

Ta có \(\widehat{DAE}=90^0-60^0=30^0\)

\(AD=AE(=AB) \)

\(\Rightarrow \triangle DAE\)cân tại A
\(\widehat{EDA}=\frac{180^0-30^0}{2}=75^0 \)

Nên \(\widehat{CDE}=15^0\)

Tương tự \(\triangle BEC\) cân tại \(B\)

Dễ chứng minh \(\triangle DAF=\triangle DCF\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat{DFC}=\widehat{DFA}=180^0-45^0-30^0=105^0\)

Hạ \(FH \perp DC\)

Thì dễ có \(\triangle DHF\) vuông cân tại \(H\)

\(\Rightarrow \widehat{ DFH}=45^0\) do đó \(HD=HO\)

\(\Rightarrow \widehat{HFC}=60^0\)

Tam giác \(HFC\) vuông tại \(H\) có \(\widehat{HFC}=60^0\)

Giả sử \(O'\) \)là trung điểm của\( FC\) thì \(\triangle HO'F\)đều

\(\Rightarrow HO'=HF=DH\)

\(\widehat{HDO'}=\frac{180^0-(60^0+90^0)}{2}=15^0=\widehat{CDE}\)

Nên\( D, E, O'\)thẳng hàng \(\Rightarrow O\) trùng \(O' \)

Hay\(O\) là trung điểm của \(CF\) nên \(OC=OF\)

                                                                              Bài giải

Ta có $\widehat{DAE}={90}^0-{60}^0={30}^0$

$AD=AE(=AB$)

$\Rightarrow △DAE$ cân tại $A$

$\widehat{EDA}=\frac{{180}^0-{30}^0}{2}={75}^0$

Nên $\widehat{CDE}={15}^0$

Tương tự $△BEC$ cân tại $B$


Dễ chứng minh $△DAF=△DCF$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{DFC}=\widehat{DFA}={180}^0-{45}^0-{30}^0={105}^0$

Hạ $FH\perp DC$

Thì dễ có $△DHF$ vuông cân tại $H$

$\Rightarrow \widehat{DFH}={45}^0$ do đó $HD=HO$

$\Rightarrow \widehat{HFC}={60}^0$

Tam giác $HFC$ vuông tại $H$ có $\widehat{HFC}={60}^0$

Giả sử $O^{\prime }$ là trung điểm của $FC$ thì 

$△H{O}^{\prime }F$ đều

$\Rightarrow H{O}^{\prime }=HF=DH$

$\widehat{HD{O}^{\prime }}=\frac{{180}^0-({60}^0+{90}^0)}{2}={15}^0=\widehat{CDE}$

Nên $D,E,O^{\prime }$ thẳng hàng

$\Rightarrow O$ trùng $O^{\prime }$

Hay $O$ là trung điểm của $CF$ nên $OC=OF$