dk \(x\ge-1\)

dat \(x=a\ge-1,\sqrt{x+1}=b\ge0\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2+2b^2=3ab.\left(1\right)\\b^2-a=1.\left(2\right)\end{cases}}\) 

xet a=0 => x=0 ko phai la nghiem pt =>

(1) <=> \(1+2\left(\frac{b}{a}\right)^2-3\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{b}{a}=1\\\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}b=a\\a=2b\end{cases}}\)

th b=a thay vao (2) => \(b^2-b-1=0\Rightarrow b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)=a=x (tmdk)

th a=2b thay vao (2) => \(b^2-2b-1=0\Rightarrow b=1+\sqrt{2}=>x=a=2+2\sqrt{2}\)(tmdk)

Vay \(S=\left\{2+2\sqrt{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

\(P=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+5\right)}+\sqrt{6\left(b^2+5\right)}+\sqrt{c^2+5}}\)

\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{6\left(b^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)(Do ab + bc + ca = 5)

\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta được:

\(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(a+c\right)=\frac{5}{2}a+\frac{6}{4}b+c\)

\(\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)=\frac{6}{4}a+\frac{5}{2}b+c\)

\(\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}=c+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)\(\le\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c\)

\(\Rightarrow\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(\ge\frac{3a+3b+2c}{\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c}=\frac{2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1;c=2\)

Bdt phu \(\frac{a^{n+2}+b^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}}\ge\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\)

cai nay ban tu chung minh nha , nhan cheo rut gon la ra

dau = khi a=b

Ap dung ta co \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge\frac{x+y}{2}\)

tuong tu va suy ra \(A\ge\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=2015\)

Vay Amin = 2015 <=> x=y=z=2015/3

chuc ban hoc tot

Vẽ các đường kính AM, BN, CP của (O). Dễ cm được BMCH, CNAH,APBH là các hình bình hành => AH = CN; BH = CM; CH = BM

=> AH + BH + CH = CN + CM + BM

Vì BC cố định nên CN không đổi => (AH + BH + CH) max khi (CM + BM) max. Ta sẽ cm rằng điều đó xảy ra khi M trùng điểm chính giữa cung nhỏ BC.

Thật vậy gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Kéo dài BQ đoạn QD = BQ = CQ, kéo dài BM đoạn ME = MC => BD = BQ + CQ = 2BQ và BE = BM + CM

Vì tg CQD cân tại Q => ^BDC = ^QCD = ^BQC/2

Tương tự tg CME cân tại M => ^BEC = ^MCE = ^BMC/2

Mà ^BMC = ^BQC => ^BEC = ^BDC => B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BD => BE =< BD <=> BM + CM =< 2BQ => (BM + CM)

Max = 2BQ xảy ra khi E trùng D hay khi M trùng Q khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC

a,b,c< 0 mà a+b+c bé hơn hoặc bằng 1

a+b+c ít nhất phải bằng 3 chứ!

\(1,ĐKXĐ:x\ge0;x\ne4\)

\(A=\left(1+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{2\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)

\(A=\left(1+\frac{2}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right)\)

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x}+2}\right)\)

\(A=\frac{2}{\sqrt{x}}\)

\(2,A>\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x}}>\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4}{2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)

\(\Leftrightarrow\frac{4-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}>0\)

Do \(\sqrt{x}>0\Rightarrow2\sqrt{x}>0\)

\(\Rightarrow4-\sqrt{x}>0\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt{x}>-4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 4\)

\(\Leftrightarrow x< 16\)

Kết hợp với ĐKXĐ thì \(0\le x< 16\)và \(x\ne4\)

\(3,A=-2\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{x}}=-2\sqrt{x}+5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(-2\sqrt{x}+5\right)=2\)

\(\Leftrightarrow-2x+5\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow-2x+2.5\sqrt{x}+2.5\sqrt{x}-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-2x+2.5\sqrt{x}\right)+\left(2.5\sqrt{x}-2\right)=0\)

Đến đây thì mình chịu

Bạn tự giải nốt nhé

HỌC TỐT

Chú ý đến giả thiết a + b + c = 1 ta viết được \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1-c\right)\left(1+c\right)}}=\)\(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}\)\(=\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được \(a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2ab+2\left(ab+bc+ca\right)=\)\(2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\)và \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Từ đó dẫn đến \(\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab}\sqrt{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)

Mà theo bất đẳng thức quen thuộc \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) ta có: \(\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\le\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)}+\frac{ab}{2\left(ab+ca\right)}\right)}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)

Từ đó ta có bất đẳng thức: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có: \(\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+a\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}\)(2) ; \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)(3)

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(1-a\right)^3\left(1+c\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\)

Ta cần chứng minh\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\right)\le\frac{3\sqrt{2}}{8}\)

Hay \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\le3\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}}\)

\(\le\sqrt{3\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{a+b}\right)}=3\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Sửa đề: \(\frac{ca}{\sqrt{\left(1-b\right)^3\left(1+b\right)}}\)